Unterschiede

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--- lager:mathe:integral:konstante_c [03.04.2020 07:40] – richard
+++ lager:mathe:integral:konstante_c [04.02.2025 12:10] (aktuell) – Externe Bearbeitung 127.0.0.1
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 Wie kann man nun eine bestimmte Stammfunktion ermitteln?
-Betrachtet man eine beliebige integrierbare Funktion f(x), dann kann man die dazugehörende Stammfunktionen F(x) durch das unbestimmte Integral bestimmen.
+===== Lösungsansatz =====
-{{:lager:mathe:integral:skizze-konstante-durch-punkt-bestimmen01.png?400|}}
+Betrachtet man eine beliebige integrierbare Funktion f(x), dann kann man die dazugehörende Stammfunktionen F(x) durch das unbestimmte Integral bestimmen.\\
-(grüne Kurverote Kurve )
+{{:lager:mathe:integral:skizze-konstante-durch-punkt-bestimmen01.png?600|}}\\
+(grüne Kurve: $f(x)=0,5x^5 - 4x^3 + 8x$ rote Kurve:$F(x) = \frac{1}{12} x^6 – x^4 + 4 x^2+C$  )
 Zur besseren Verdeutlichung wurde ein Integral von a=0 bis b=2,5 (rosa hinterlegt) eingezeichnet. Die entsprechenden Flächen sind oberhalb abzulesen (Für das Intervall [0;2,5] → 6,283)
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 Durch Verändern der linke unteren Integrationsgrenze (a=0) auf den Wert a=0.6 (willkürlich).
 Hierdurch verschiebt sich die Kurve der Stammfunktion F(x) um genau den Wert 1,314 nach Unten (vgl. y-Achsenabschnitt von F(x)= -1,314 und damit Integrationskonstante C = -1,314 mit dem Wert der Fläche im Intervall [0;0,6]=1,314).
-Es ergibt sich also exakt der Wert der Fläche im Intervall [0;a=0,6] als neuer negativer y-Achsenabschnitt bzw. C bei der Stammfunktion F(x). s. orange Markierung in der nächsten Abbildung:
+Es ergibt sich also exakt der Wert der Fläche im Intervall [0;a=0,6] als neuer negativer y-Achsenabschnitt bzw. C bei der Stammfunktion F(x). s. orange Markierung in der nächsten Abbildung:\\
-{{:lager:mathe:integral:skizze-konstante-durch-punkt-bestimmen02.png?400|}}
+{{:lager:mathe:integral:skizze-konstante-durch-punkt-bestimmen02.png?600|}}
 Wie man an der gestrichelten Kurve (ursprünglichen Stammfunktion) sieht, ist die Form der Stammfunktion nicht verändert, sondern nur die Lage.
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 ===== Aufgabenstellung =====
-Gegeben ist ein Punkt, durch den die Stammfunktion laufen soll. Gesucht ist nun die Integrationskonstante C, die dies ermöglicht.
+Gegeben ist ein Punkt $ P(x_P, y_P)$, durch den die Stammfunktion laufen soll. Gesucht ist nun die Integrationskonstante C, die dies ermöglicht.
 Durch folgenden Ansatz kann C ermittelt werden.
-Ansatz:
+Ansatz:\\
+$F(x_P) +C = y_P$\\
 (Einsetzen des Punktes P in die Stammfunktion)
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 ==== Beispiel:====
-Gegeben:
+Gegeben: $f(x)=- 3 x^2 + 4 x + 5$
 Gesucht: Berechnen Sie die Integrationskonstante C der Stammfunktion F(x), damit F(x) durch den Punkt P(1|4) verläuft.
-Ansatz:
-. Zunächst wird die Stammfunktion F(x) nach den bekannten Integrationsregeln bestimmt:
-$F(x)= - x^3+2x^2+5x+C$
-. Koordinaten von P in F(x) einsetzen, dann nach C auflösen:
+Ansatz:\\
+. Zunächst wird die Stammfunktion F(x) nach den bekannten Integrationsregeln bestimmt:\\
+$F(x)= - x^3+2x^2+5x+C$
+. Koordinaten von P in F(x) einsetzen, dann nach C auflösen:\\
 $F(1)+C = 4$\\
-$\Leftrightarrow F(1) = - (1)^3 + 2 \cdot (1)^2 + 5 \cdot (1)+C = 4$
+$\Leftrightarrow F(1) = - (1)^3 + 2 \cdot (1)^2 + 5 \cdot (1)+C = 4$\\
 $\Leftrightarrow C = 4 + 1 - 2 -5 = -2$
+. Ergebnis:\\
+$F(x)= - x^3+2x^2+5x \boldsymbol{-2}$