Extremwertaufgaben

Beispiel Dosenoptimierung

Es soll Suppe mit dem Volumen V = 800 ml in einer Dose verpackt werden. Dabei soll der Blechverbrauch minimal werden. Bestimmen Sie das optimale Verhältnis zwischen Höhe und Radius der Dose.

1. Skizze erstellen

skizze_dose.pdf

2. Aufstellen der Hauptbedingung/Zielfunktion

Welche Größe soll hier „optimiert“ werden? Die Oberfläche! Demnach ergibt sich die Hauptbedingung zu:

3. Aufstellen der Nebenbedingung/Randbedingung

Welche weiteren Informationen enthält die Aufgabenstellung, um Unbekannte zu eliminieren? Das Volumen der Dose soll 800 ml betragen!

Nebenbedingung:

4. Hauptfunktion/Zielfunktion mittels Nebenbedingung/Randbedingung vereinfachen

Einsetzen der Nebenbedingung in die Hauptbedingung führt zu:

5. Extremum (Optimum) ermitteln

Notwendige Bedingung:

Hinreichende Bedingung:

Es handelt sich um ein Minimum

6. Lösung ermitteln

Durch einsetzen von in die Nebenbedingung kann nun noch bestimmt werden:

Antwort: Bei einem Radius von und einer Höhe von resultiert für eine Dose mit einem Volumen von 800 ml der minimale Materialverbrauch.

Kostenoptimierung

Die Gewinnes eins Unternehmens sollen optimiert werden. Bei einer entsprechenden Analyse konnten die Kosten K als Funktion

<m> K(x)= 0,04 x^3 - 0,64 x^2 + 3,6 x + 2 </m>

Das Unternehmen stellt große Mengen her, daher stellt x die Menge in 10.000 Stück dar und die Kosten K sind in 10.000 € dargestellt.

Der Erlös 1) Umsatz oder auch Einnahmen; NICHT Gewinn kann in Abhängigkeit der verkauften Waren x als Erlösfunktion E(x) dargestellt werden:

<m> E(x)= - 0,16 x^2 + 2,76 x </m>

a) Wie viel Stück Ware sollten produziert werden, damit der Gewinn maximal wird?

b) Wie groß ist der Gesamtgewinn?

c) Wie groß ist der Erlös pro Stück?

Aufgaben zu Extremwertaufgaben aus dem Buch

Die folgenden Aufgaben sind nach Themen sortiert und können im Buch „Mathematik Technik Fachhochschulreife“ Cornelsen Verlag 1. Auflage, 1. Druck 2014 gefunden werden.

Thema	Seite	Aufgabe	Lösung
Extremwertberechung	186f	Erklärung
Extremwertberechung Vorgehensweise	189	Erklärung
Aufgaben	190	A1, A2	siehe S. 423
Aufgabe	192	A1
Aufgabe	192	A2	In der Aufgabenstellung muss es gleichschenkliges Dreieck heißen!
Aufgabe	192	A3
Aufgabe	192	A4
Aufgabe	192	A5
Aufgabe	192	A6
Aufgabe	193	A12	a) ; b)
Aufgabe	193	A13	a) ; b) ; …
A13	c) max: min: ; …
A13	d)

/* | Aufgaben | 192ff | A5 A6 A12 A13 u.a. | *

Für „Mathematik Technik Fachhochschulreife“ Cornelsen Verlag 1. Auflage, 2. Druck 2015 gilt:

Thema	Seite	Aufgabe	Lösung
Extremwertberechung	186f	Erklärung
Extremwertberechung Vorgehensweise	189	Erklärung
Aufgaben	A1, A2	siehe S.
Aufgabe	A1
Aufgabe	A2
Aufgabe	A3
Aufgabe	A4
Aufgabe	A5
Aufgabe	A6
Aufgabe	A12	a) ; b)
Aufgabe	A13	a) ; b) ; …
A13	c) max: min: ; …
A13	d)

/* | Aufgaben | 192ff | A5 A6 A12 A13 u.a. | *

Weitere Extremwertaufgaben

Weitere Aufgaben Pfeffer 7. Auflage S. 226!