Zunächst muss bei einer quadratischen Gleichung $x$ von der Wurzel befreit werden. Dies geschieht mittels der Quadratur der Gleichung. Dabei erhält man aber unter Umständen eine weitere Lösung, die die ursprüngliche Gleichung eventuell nicht löst. Die Quadratur ist demnach keine äquivalente Termumformung, bei der die Definitions- und Lösungsmenge immer konstant bleibt. Trotzdem hilft sie bei der Lösungsfindung. Man muss lediglich beachten, die gefundenen Lösungen durch eine Probe zu überprüfen.

Beispiel:

\begin{equation} \begin{aligned} \sqrt{2x+1} &= x-17 & &|~ \text{quadrieren} \\ 2x+1 &= (x-17)^2 & &|~ \text{Binom auflösen} \\ 2x+1 &= x^2 - 34 x + 289 & &|~ -2x -1 \\ 0 &= x^2 - 36 x + 288 & &|~ \text{pq-Formel} \\ x_{1,2} &= - \frac{-36}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-36}{2} \right)^2 - 288 } \\ &=18 \pm \sqrt{324 – 288} \\ &=18 \pm 6 ~~ \implies x_1 = 12 \text{ und } x_2 = 24 \\ \end{aligned} \end{equation}

\begin{equation} \begin{aligned} \text{Probe: } x_1 &=12 \\ \sqrt{2 \cdot 12 +1 } &= 12 -17 \\ \sqrt{25} &= -5 \\ 5 &= -5 ~~ \implies \text{falsch}~~ \implies x_1=12 ~~\text{löst die ursprüngliche Gleichung \textbf{nicht!}} \\ \end{aligned} \end{equation}

\begin{equation} \begin{aligned} \text{Probe: } x_2 &=24 \\ \sqrt{2 \cdot 24+1 } &= 24 -17 \\ \sqrt{49} &= 7 \\ 7 &= 7 ~~ \implies \text{wahr}~~ \implies x_2=24 ~~\text{löst die ursprüngliche Gleichung!}\\ \end{aligned} \end{equation}

Lösungsmenge $L= \lbrace 24 \rbrace$

\begin{equation} \begin{aligned} \sqrt{x-9} &=1 ~~| \text{quadrieren} \\ x-9 &= 1 ~~| +9 \\ x &= 10 \\ \text{Probe:}\\ \sqrt{10-9}&=1 \\ 1&=1 ~~\implies ~\text{wahr} \end{aligned} \end{equation}

Erst zusammenfassen, dann quadrieren und auflösen.

\begin{equation} \begin{aligned} 5 \cdot \sqrt{x+1} -1 &= 3 \cdot \sqrt{x+1} + 3 &&| ~ - 3 \cdot \sqrt{x+1} &&| ~ + 1 \\ 2 \cdot \sqrt{x+1} &= 4 &&| ~ : 2 &&| ~ \text{quadrieren} ~~| ~- 1\\ x&= 3 \\ \text{Probe:}\\ 5 \cdot \sqrt{3+1} -1 &= 3 \cdot \sqrt{3+1} + 3 \\ 5 \cdot 2 -1 &= 3 \cdot 2 + 3 ~\Leftrightarrow~ 9 &= 9 ~~\text{wahr} ~~L&=\{ 3 \} \end{aligned} \end{equation}

Erst Wurzel isolieren, dann beidseitig quadrieren und auflösen. \begin{equation} \begin{aligned} 3 \cdot \sqrt{4x+10} – 4 \cdot \sqrt{2x+6} &= 0 &&|~ + 4 \cdot \sqrt{2x+6} &&|~ \text{quadrieren} \\ 9 \cdot (4x+10) &= 16 \cdot (2x+6) &&|~ \text{auflösen} \\ 36 x + 90 &= 32 x +96 &&| ~ -90 &&| ~ -32 x \\ 4x &= 6 ~~\Leftrightarrow ~ x = 1,5 \\ \text{Probe: }\\ 3 \cdot \sqrt{4\cdot 1,5+10} – 4 \cdot \sqrt{2 \cdot 1,5+6} &= 3 \cdot \sqrt{ 16 } - 4 \cdot \sqrt{ 9 } &= 3 \cdot 4 - 4 \cdot 3 &= 0 ~~\text{wahr} ~~L=\{ 1,5 \} \end{aligned} \end{equation}

Wurzeln nach einander durch quadrieren auflösen. \begin{equation} \begin{aligned} \sqrt{x-1} + \sqrt{x-4}-3 &= 0 &&|~+3 &&|~ -\sqrt{x-1}\\ \sqrt{x-4} &=3-\sqrt{x-1} &&|~ \text{quadrieren} \\ x-4 &= \left( 3 - \sqrt{x-1} \right )^2 &&|~ \text{2. Binom anwenden mit} a = 3 \text{und} b =-\sqrt{x-1}\\ x-4 &= 9 - 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{x-1} + (x-1) &&|~ + 6 \cdot \sqrt{x-1} &&|~ +4 ~~| ~\text{Rest fällt weg} \\ 6 \cdot \sqrt{x-1} &= 12 &&|~: 6 &&|~ \text{quadrieren} \\ x-1 &= 4 ~~\Leftrightarrow~~ x = 5 \\ \text{Probe: }\\ \sqrt{5-1} + \sqrt{5-4}-3 &= 2 + 1 - 3 = 0~~\text{wahr} ~~L=\{ 5 \} \end{aligned} \end{equation}