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--- lager:mathe:extremw:aufgaben [18.03.2020 17:58] – hhaus
+++ lager:mathe:extremw:aufgaben [02.04.2020 12:25] – [Extremwertaufgaben] richard
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 ====== Extremwertaufgaben ======
+===== Beispiel Rechteckfläche =====
+Es soll ein rechteckiger Sandkasten gebaut werden. Der Sandkasten soll flächenmäßig so groß wie möglich werden. Zur Verfügung stehen zwei 8 m lange Bretter. Wie lang müssen die Kanten gewählt werden, damit die Grundfläche des Sandkastens maximal wird?
+==== 1. Skizze erstellen ====
+{{:lager:mathe:extremw:skizze_rechteck.png?400|}}
+==== 2.  Aufstellen der Hauptbedingung/Zielfunktion ====
+Welche Größe soll hier "optimiert" werden? Die Fläche! Demnach ergibt sich die Hauptbedingung zu: $A=x \cdot y $
+==== 3. Aufstellen der Nebenbedingung/Randbedingung ====
+Welche weiteren Informationen enthält die Aufgabenstellung, um Unbekannte zu eliminieren? Es stehen zwei Bretter je 8 m zur Verfügung. Der Umfang beträgt demnach 16 m!
+$\Rightarrow$ Nebenbedingung: $2~x+2~y=16$ $\Rightarrow$ $x+y=8$ $\Rightarrow$ $y=8-x$
+==== 4. Hauptfunktion/Zielfunktion mittels Nebenbedingung/Randbedingung vereinfachen ====
+Einsetzen der Nebenbedingung in die Hauptbedingung führt zu:
+$A(x)=x \cdot (8-x)=8x-x^2$
+==== 5. Extremum (Optimum) ermitteln ====
+Notwendige Bedingung: $A'(x)=0$
+$A'(x)=8-2x=0 \Rightarrow x=4$
+Hinreichende Bedingung: $A''(x)\neq0$
+$A''(4)=-2 <0 \Rightarrow$ Es handelt sich um ein Maximum $\checkmark$
+==== 6. Lösung ermitteln ====
+Durch einsetzen von $x$ in die Nebenbedingung kann nun noch $y$ bestimmt werden:
+$y=8-x=8-4=4 $
+**Antwort**: Die größte Fläche resultiert wenn als Grundfläche ein Quadrat mit den Kantenlängen $x=y=4$ gewählt wird.
 ===== Beispiel Dosenoptimierung =====
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 a) Wie viel Stück Ware sollten produziert werden, damit der Gewinn maximal wird?
-b) Wie groß ist der Gesamtgewinn?
+b) Wie groß ist der Maximalgewinn?
-c) Wie groß ist der Erlös pro Stück?
+c) Wie groß ist der Erlös pro Stück beim Maximalgewinn?
 ====== Aufgaben zu Extremwertaufgaben aus dem Buch ======