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--- lager:mathe:integral:gem_integral_aufg [2015/04/17 09:07] – richard
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-===== Musterlösung zu Integralrechnung =====
+====== Integralrechnung - Aufgaben ======
-Im folgenden Dokument werden Vorgehensweisen zu einigen Integralaufgaben aufgeführt:\\
+{{ :lager:mathe:integral:h2-integralrechnung-arbeitsauftrag-20-03-23.pdf |Arbeitsauftrag}}
-**{{:lager:mathe:integral:h2-07_04_berechnung_einer_unbekannten_grenze.pdf| Vorgehensweise für Integralrechnung }}**
-===== Gemischte Aufgaben zur Integralrechnung =====
-. Bestimmen Sie die Stammfunktionen zu den gegebenen Funktionen.
+===== Unbestimmtes Integral =====
-a) {{:lager:mathe:bilder:integral_aufgabe_1a_13-04-24.png?120|}}
+**Gegeben ist eine Funktion:** $f(x)$
-b) {{:lager:mathe:bilder:integral_aufgabe_1b_13-04-24.png?180|}}
-c) {{:lager:mathe:bilder:integral_aufgabe_1c_13-04-24.png?180|}}
+**Gesucht ist:** $F(x)$ (Stammfunktion; reine Integration keine Grenzen) $\int f(x) \cdot dx = F(x) + C$
-d) {{:lager:mathe:bilder:integral_aufgabe_1d_13-04-24.png?120|}}
-. Bestimmen Sie das bestimmte Integral zwischen -1 und 3 der folgenden Funktionen.
+===== Bestimmtes Integral =====
-a) {{:lager:mathe:bilder:bestimmtes_integral_aufgabe_1a_13-04-24.png?150|}}
+**Gegeben ist eine Funktion:** $f(x)$
-b) {{:lager:mathe:bilder:bestimmtes_integral_aufgabe_1b_13-04-24.png?150|}}
+**Gesucht ist:** Integral im Intervall $[a, b]$
-. Berechnen Sie folgende Integrale.
+Flächen werden miteinander verrechnet $\int\limits_a^b f(x) \cdot dx = F(b)- F(a)$(vgl. Gewinn-Verlust-Rechnung in einem Zeitabschnitt)
-a) {{:lager:mathe:bilder:unbestimmtes_integral_aufgabe_1a_13-04-24.png?120|}}
+===== Bestimmung der Stammfunktion durch Punkt =====
-b) {{:lager:mathe:bilder:unbestimmtes_integral_aufgabe_1b_13-04-24.png?120|}}
+**Gegeben ist eine Funktion:** $f(x)$ und ein Punkt P
-. Bestimmen Sie die Fläche A, die von der x-Achse und dem Graphen der
+**Gesucht ist:** $F(x)$ mit eindeutigem $C$
-Funktion {{:lager:mathe:bilder:eingeschlossene_flaeche_aufgabe_1a_13-04-24.png?200|}} eingeschlossen wird.
-.  Geben Sie die Stammfunktionen der folgenden Funktionen an, sodass die Graphen der
+Bestimmen Sie die Stammfunktion F(x), die durch den Punkt P verläuft.
-Stammfunktionen jeweils durch den Punkt P(1 | 0) verlaufen.
-a) {{:lager:mathe:bilder:stammfunktion_durch_p_aufgabe_1a_13-04-24.png?200|}}
+  - Allgemeine Stammfunktion ermitteln (mit C).
+  - Einsetzen der Punkt Koordinaten $F(x_p)+C=y_p$, wenn $P(x_p \vert y_p)$
-b) {{:lager:mathe:bilder:stammfunktion_durch_p_aufgabe_1b_13-04-24.png?200|}}
+===== Flächenberechnung (allgemein) =====
-.  Bestimmen Sie die Schnittpunkte der folgenden Funktionen und ermitteln Sie die durch die
+**Gegeben ist eine Funktion:** $f(x)$
-Graphen der beiden Funktionen begrenzte Fläche A.
-{{:lager:mathe:bilder:schnittflaeche_zw_f_und_g_aufgabe_1a_13-04-24.png|}}
+**Gesucht ist:** $[A]_a^b = | \int\limits_a^b f(x) \cdot dx |$
-(**HINWEIS**: Häufig wird hier noch eine Skizze verlangt, nachdem die notwendigen Punkte
+  - Ermitteln der Nullstellen, um die Teilflächen zu ermitteln. Nullstellen: $x_{N1}, x_{N2}, ...$
- ermittelt wurden. Bei diesen beiden Funktionen ist dies nicht möglich, da die
+  - Überprüfen, welche Nullstellen in das Integrationsintervall fallen. z.B.: $x_{N2}$ und $x_{N3}$ fallen in das Integrationsintervall
- Nullstellen von f(x) und g(x) nicht ganzzahlig sind.)
+  - Gesamtes Integral entsprechend der unter 2. ermittelten Nullstellen in Teilflächen unterteilen.
+  - Stammfunktion ermitteln.
+  - Integral über Stammfunktion (mit Beträgen) berechnen. $[A]_a^b = | \int\limits_{a}^{b} {f(x) \cdot dx} |$ $=| \int\limits_{a}^{x_{N2}} f(x) \cdot dx | + | \int\limits_{x_{N2}}^{x_{N3}} f(x) \cdot dx |$ $+ | \int\limits_{x_{N3}}^{b} f(x) \cdot dx |$ $=| F(x_{N2}) - F(a) | + | F(x_{N3}) - F(x_{N2}) | + | F(b) - F(x_{N3}) |$
+===== Flächenberechnung zwischen zwei Funktionen =====
-===== Lösungen zu folgenden Aufgaben (Pfeffer 7.Auflage) =====
+**Gegeben sind zwei Funktionen:** $f(x)$ und $g(x)$
-  * S. 237 A6.2 c)
+**Gesucht ist:** $[A]_a^b$
-  * S. 242 A6.12 d)
-  * S. 242 A6.10 a)
-  * S. 243 A6.14 e)
-  * S. 247 A6.27 a) Winkelhalbierende f(x)=x
-{{:lager:mathe:integral:integralaufgaben_pfeffer.zip|Lösungen mit Geogebra}}
+  - Differenzfunktion $h(x)=f(x) - g(x)$ bilden.
+  - Nullstellen der Differenzfunktion $h(x_N)=0$ ermitteln (diese entsprechen den Schnittstellen von $f(x)$ und $g(x)$).
+  - Fläche, die von der Differenzfunktion $h(x)$ eingeschlossen wird (von Nullstelle zu Nullstelle), berechnen. Falls vorgegeben müssen hier noch zusätzliche Intervallgrenzen berücksichtigt werden.  $[A]_a^b = | \int\limits_{a}^{b} {h(x) \cdot dx} |$ $=| \int\limits_{a}^{x_{N2}} h(x) \cdot dx | + | \int\limits_{x_{N2}}^{x_{N3}} h(x) \cdot dx |$ $+ | \int\limits_{x_{N3}}^{b} h(x) \cdot dx |$ $=| H(x_{N2}) - H(a) | + | H(x_{N3}) - H(x_{N2}) | + | H(b) - H(x_{N3}) |$
+(**HINWEIS:** Häufig wird bei Schnittflächen noch eine Skizze verlangt, nachdem die notwendigen Punkte ermittelt wurden. Bei diesen beiden Funktionen ist dies nicht möglich, da die Nullstellen von $f(x)$ und $g(x)$ nicht ganzzahlig sind.)
+===== Integralrechnung - Berechnung einer unbekannten Grenze =====
+**Gegeben ist eine Funktion:** $f(x)$, $a$ und $A$
+**Gesucht ist:** $b$ bei $\int\limits_a^b f(x) \cdot dx$
+Bestimmen Sie die Grenze $b$ so, dass die von der Funktion eingeschlossene Fläche $A$ einem gegebenen Flächenwert entspricht!
+  - Integral ggf. aufteilen, wenn Nullstellen vorhanden sind.
+  - Gleichsetzen mit gegebener Fläche $|F(b) - F(a) | = A$, da $F(a)$ ein Zahlenwert ist ($a$ ist gegeben), kann nach b aufgelöst werden.
+  - Bei mehreren Lösungen für $b$ (z.B. bei $b^2 = A - a^2$) muss noch eine Plausibilitätsprüfung durchgeführt werden, welcher der Zahlenwerte die gesuchte Lösung darstellt.
+====== Aufgabensammlung ======
+===== Stammfunktion bzw. unbestimmtes Integral =====
+Bestimmen Sie die Stammfunktion / das unbestimmte Integral zu den gegebenen Funktionen:
+^a) $f_1(x)=\sqrt[3]{x^2} - \frac{1}{2} x^2$  ^b) $f_2(x)=\frac{3}{x^2}+ \frac{2}{3} x^4 - 3x +7$^
+|c) $f_3(x)=\frac{1}{3} x^3 - 2x^2 + 3x -1$   |d) $f_4(x)=\frac{2}{3} x^3 + \frac{1}{x^2} -3$    |
+===== Bestimmtes Integral =====
+Bestimmen Sie das bestimmte Integral zwischen -1 und 3 der folgenden Funktionen sofern keine anderen Grenzen angegeben wurden:
+^a) $f_1(x)=-0.5 x^3 + 2 x^2 -4$             ^b) $f_2(x)=-x^3 +3x^2-2$                                     ^
+|c) $\int\limits_{-1}^{2}(x^2-3x) \cdot dx$  |d) $\int\limits_{-2}^{4}(- \frac{1}{4} x^3- 2x^2) \cdot dx$  |
+Lösung Aufgabe b): {{ :lager:mathe:integral:bestimmtes-integral-b-loesung-flaeche.ggb.zip |}}
+===== Stammfunktion durch einen Punkt =====
+Geben Sie die Stammfunktionen der folgenden Funktionen an, sodass die Graphen der Stammfunktionen jeweils durch den Punkt $P(1 | 0)$ verlaufen.
+^a) $f_1(x)=\frac{1}{3} x^3 - \frac{2}{7} x^2 +x -1$           ^b) $f_2(x)=\frac{2}{5}x^5 - \frac{3}{2} x^4 + 2 x - 3$^
+|c) $f_3(x)=\frac{4}{5}x^3 + \frac{1}{4}x^2 - \frac{1}{3} x -2$|                                                      |
+===== Flächenberechnung (allgemein) =====
+  - Bestimmen Sie die Fläche $A$, die von der x-Achse und dem Graphen der Funktion $f(x)=\frac{1}{2}x^3 + \frac{1}{2}x^2 - \frac{3}{2} x -1$ eingeschlossen wird.
+  - Bestimmen Sie die Fläche $A$ im Intervall $[-2,2]$, die von der x-Achse, dem Funktionsgraphen von $f(x)=\frac{2}{3}x^3 - \frac{3}{4}x^2$ eingeschlossen wird.
+Lösung:
+{{ :lager:mathe:integral:integral_loesunga1a2.zip |}}
+===== Schnittfläche =====
+Bestimmen Sie die Schnittpunkte der folgenden Funktionen und ermitteln Sie die durch die Graphen der beiden Funktionen $f(x)= -x^3 +3$ und $g(x)= -4x^3 + 4x +2$ begrenzte Fläche $A$.
+===== Integralrechnung - Berechnung einer unbekannten Grenze =====
+Bestimmen Sie die Integrationsgrenze $b$ für die folgenden Integrale.
+$\int\limits_{0}^{b}(-2x+1) \cdot dx = -6$
+$\int\limits_{-1}^{b}(3x^2-1) \cdot dx = 4$
+$\int\limits_{1}^{b}(4x^3-6x) \cdot dx = 6$
+$\int\limits_{b-1}^{b}2x \cdot dx = 5$
+$\int\limits_{b}^{b+1}(3x^2-1) \cdot dx = 18$
+$\int\limits_{-b}^{b}(x^2 -2x +1)\cdot dx = \frac{8}{3}$
+$\int\limits_{b}^{b+2}(x^3 + x)\cdot dx = 24$
+====== Lösungen (nicht sortiert) ======
+^$F(x)=-\frac{3}{x}+ \frac{2}{15} x^5 - \frac{3}{2}x^2 +7x+C$^  $F(x)=\frac{1}{12} x^4 - \frac{2}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 -x+C$^
+|$F(x)=\frac{1}{6} x^4 - \frac{1}{x} -3x +C$                 |           $F(x)= \frac{3}{5} \sqrt[3]{x^5} - \frac{1}{6} x^3+C$|
+|$A=-63$  |$A=0$  |$C=1,883$  |$C=0,512$  |$C=2,233$  |$A=-\frac{3}{2}$|$A=-7\frac{1}{3}$|
+|$C=1,883$  |$C=0,512$  |$C=2,233$  |
+|$A=0,6438+2,3292=2,973$  |$A=2,673 +0,378=3,051$  |  $A=4,666 +0,089+ 0,756=5,511$|