Unterschiede

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--- lager:mathe:start:binom_formel [2013/08/25 15:27] – angelegt richard
+++ lager:mathe:start:binom_formel [2025/11/19 17:25] (aktuell) – richard
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-====== Faktorisieren ======
+~~DISCUSSION:off|Ergänzungen~~
-===== Erklärung =====
+Die Darstellung der Formeln ist nicht optimal, daher kann hier ein **{{:lager:mathe:start:h1-00_binomische_formeln_14-09-16.pdf|PDF heruntergeladen}}** werden. Die Aufgaben enthalten alle Varianten:
-Unter Faktorisieren versteht man das Ausklammern von gemeinsamen Faktoren. Eine ganze Zahl kann immer in einem Produkt aus mehreren Faktoren dargestellt werden.
+  * Binomische Formeln anwenden (Ausklammern)
+  * Binomische Formeln umkehren (Zusammenfassen)
+  * Binomische Formeln ergänzen (teilweise Zusammenfassen)
-Beispiel: <m>24 = 2 * 2 * 2 * 3</m>
+====== Binomische Formeln ======
-===== Übungsaufgaben =====
+Hinweis zu den Herleitungen:
+Bei den Herleitungen wird jeweils schrittweise ausgeklammert und anschließend werden die gleichen Terme zusammengefasst.
+===== 1. Binomische Formel =====
+$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
+Herleitung:  $(a + b)^2 = (a + b) (a + b) = a a + a b + b a + b b = a^2 + 2 ab + b^2$
+Erklärung: Zunächst wird die Potenz $^2$ als Produkt der Klammer aufgelöst. Im Anschluss wird die erste Variable der vorderen Klammer mit allen Variablen der hinteren Klammer multipliziert und mit dem entsprechenden Vorzeichen (hier immer +) aufaddiert $(a \cdot a + a \cdot b)$. Das Gleiche wird mit der zweiten Variable der ersten Klammer und allen Variablen der hinteren Klammer getan $(b \cdot a + b \cdot b)$. Nun kann zusammen gefasst $(a \cdot b + b \cdot a = 2 a \cdot b)$ bzw. vereinfacht $(a a = a^2  bzw.  b * b = b^2)$ werden.
+===== 2. Binomische Formel =====
+$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
+Herleitung: $(a - b)^2 = (a - b) (a - b) = a a - a b - b a + b b = a^2 - 2 ab + b^2$
+Erklärung: Die Vorgehensweise ist dieselbe wie bei der ersten Binomischen Formel. Allerdings ist auf das Vorzeichen der Variablen zu achten.
+===== 3. Binomische Formel =====
+$a^2 - b^2 = (a - b) (a + b)$
+Herleitung: $(a - b) (a + b) = a a + a b - b a - b b = a^2 - b^2$
+Erklärung: Die Vorgehensweise ist dieselbe wie bei den ersten beiden Binomischen Formel. Die beiden mittleren Terme heben sich gegenseitig auf, so dass die beiden quadratischen Terme übrig bleiben.
+===== Übungsaufgaben Binomische Formeln =====
+Vereinfachen Sie die Ausdrücke, indem Sie die binomischen Formeln anwenden:
+^ **Aufgabe** ^ **Ergebnis** ^
+| **Aufgabe 1** ||
+| a) $a^2 -25 =$ | |
+| b) $m^2 -1 =$ | |
+| c) $1 - p^2 =$ | |
+| **Aufgabe 2** ||
+| a) $9a^2 -4b^2 =$ | |
+| b) $49p^2-64q^2 =$ | |
+| c) $u^2v^2 - 1 =$ | |
+| **Aufgabe 3** ||
+| a) $a^2 -a^4 =$ | |
+| b) $-9b^4 + 4a^2 =$ | |
+| c) $x^4 y^4 - z^4 =$ | |
+| **Aufgabe 4** ||
+| a) $a^2 + 10 a + 25 =$ | |
+| b) $y^2- 2 y + 1 =$ | |
+| **Aufgabe 5** ||
+| a) $9 - 24 b + 16 b^2 =$ | |
+| b) $x^2 + 10 x + 16 =$ | |
+| **Aufgabe 6** ||
+| a) $4a^2 - 10 a x + 9 x^2 =$ | |
+| b) $120a^2b + 144 a^2 + 25a^2 b^2 =$ | |
+| **Aufgabe 7** ||
+| a) $9a^4 - 12 a^2 + 4 =$ | |
+| b) $3x^2 + 52 x + 147 =$ | |
+| **Aufgabe 8** ||
+| a) $a^2 + 8a + 15 =$ | |
+| b) $b^2 -7 b + 10 =$ | |
+| **Aufgabe 9** ||
+| a) $q^2 - 8q -9 =$ | |
+| b) $m^2 + 5 mn - 24 n^2 =$ | |
+| **Aufgabe 10** ||
+| a) $14 m^2 - 9mn + n^2 =$ | |
+| b) $2x^2z + 6xyz - 8 y^2 z =$ | |
-Faktorisieren Sie so weit wie möglich:((Urheber aller Aufgaben: U. Niedermeyer))
-^ Aufgabe ^ Ergebnis ^
-| 8a-12b = | |
-====== Binomische Formeln ======