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--- lager:mathe:start:binom_formel [2014/09/16 15:57] – richard
+++ lager:mathe:start:binom_formel [2025/11/19 17:25] (aktuell) – richard
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-Die Darstellung der Formeln ist nicht optimal, daher kann hier ein **{{:lager:mathe:start:h1-00_faktorisieren_14-09-16.pdf|PDF heruntergeladen}}** werden.
+~~DISCUSSION:off|Ergänzungen~~
-====== Faktorisieren ======
+Die Darstellung der Formeln ist nicht optimal, daher kann hier ein **{{:lager:mathe:start:h1-00_binomische_formeln_14-09-16.pdf|PDF heruntergeladen}}** werden. Die Aufgaben enthalten alle Varianten:
+  * Binomische Formeln anwenden (Ausklammern)
+  * Binomische Formeln umkehren (Zusammenfassen)
+  * Binomische Formeln ergänzen (teilweise Zusammenfassen)
-===== Erklärung =====
+====== Binomische Formeln ======
-Unter Faktorisieren versteht man das Ausklammern von gemeinsamen Faktoren. Eine ganze Zahl kann immer in einem Produkt aus mehreren Faktoren dargestellt werden.
-Beispiel: <m> 24 = 2 * 2 * 2 * 3 </m>
+Hinweis zu den Herleitungen:
+Bei den Herleitungen wird jeweils schrittweise ausgeklammert und anschließend werden die gleichen Terme zusammengefasst.
-Dabei sind die Faktor 2 und 3 nur noch durch 1 und sich selbst teilbar. Sie werden auch **Primzahlen** genannt.
+===== 1. Binomische Formel =====
-Möchte man einen Term faktorisieren sucht man von allen Zahlen die gemeinsamen Primzahlen und bildet daraus den Faktor, den man ausklammern kann.
-Beispiel: <m> 24 x + 15 y = </m>
+$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
-<m> 24 = 2 * 2 * 2 * 3 </m>
+Herleitung:  $(a + b)^2 = (a + b) (a + b) = a a + a b + b a + b b = a^2 + 2 ab + b^2$
-<m> 15 = 3 * 5 </m>
+Erklärung: Zunächst wird die Potenz $^2$ als Produkt der Klammer aufgelöst. Im Anschluss wird die erste Variable der vorderen Klammer mit allen Variablen der hinteren Klammer multipliziert und mit dem entsprechenden Vorzeichen (hier immer +) aufaddiert $(a \cdot a + a \cdot b)$. Das Gleiche wird mit der zweiten Variable der ersten Klammer und allen Variablen der hinteren Klammer getan $(b \cdot a + b \cdot b)$. Nun kann zusammen gefasst $(a \cdot b + b \cdot a = 2 a \cdot b)$ bzw. vereinfacht $(a a = a^2  bzw.  b * b = b^2)$ werden.
-In 24 und 15 kommt die 3 vor, diese kann demnach ausgeklammert werden.
+===== 2. Binomische Formel =====
-Bei 24 bleibt noch <m> 2 * 2 * 2 = 8 </m> übrig und bei 15 nur noch die 5 selbst.
-Also: <m> 24 x + 15 y = 3  (8 x + 5 y) </m>
+$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
-Wenn nur Variablen vorkommen, so können auch hier die gemeinsamen Faktoren (in dem Fall Variablen) ausgeklammert werden.
+Herleitung: $(a - b)^2 = (a - b) (a - b) = a a - a b - b a + b b = a^2 - 2 ab + b^2$
-Beispiel: <m> a^2 b^4 + 3 b^3 = </m>
+Erklärung: Die Vorgehensweise ist dieselbe wie bei der ersten Binomischen Formel. Allerdings ist auf das Vorzeichen der Variablen zu achten.
-<m> a^2 b^4 = a*a * b*b*b*b  </m>
+===== 3. Binomische Formel =====
-<m> 3 b^3 = 3 * b*b*b  </m>
+$a^2 - b^2 = (a - b) (a + b)$
-Der Faktor <m> b * b * b </m> ist in beiden Termen enthalten und kann somit ausgeklammert werden.
+Herleitung: $(a - b) (a + b) = a a + a b - b a - b b = a^2 - b^2$
-<m> a^2 b^4 + 3 b^4 = b^3 ( a^2 b + 3) </m>
+Erklärung: Die Vorgehensweise ist dieselbe wie bei den ersten beiden Binomischen Formel. Die beiden mittleren Terme heben sich gegenseitig auf, so dass die beiden quadratischen Terme übrig bleiben.
+===== Übungsaufgaben Binomische Formeln =====
-===== Übungsaufgaben Faktorisieren =====
+Vereinfachen Sie die Ausdrücke, indem Sie die binomischen Formeln anwenden:
-Faktorisieren Sie so weit wie möglich:((Urheber aller Aufgaben: U. Niedermeyer))
 ^ **Aufgabe** ^ **Ergebnis** ^
 | **Aufgabe 1** ||
-| a) <m> 8a-12b =  </m>| |
+| a) $a^2 -25 =$ | |
-| b) <m> 15m - 9n =  </m>| |
+| b) $m^2 -1 =$ | |
-| c) <m> 22x - 11 =  </m>| |
+| c) $1 - p^2 =$ | |
 | **Aufgabe 2** ||
-| a) <m> ab - ac =  </m>| |
+| a) $9a^2 -4b^2 =$ | |
-| b) <m> pq + qr =  </m>| |
+| b) $49p^2-64q^2 =$ | |
-| c) <m> y^2 - xy =  </m>| |
+| c) $u^2v^2 - 1 =$ | |
 | **Aufgabe 3** ||
-| a) <m> 15ab - 25a =  </m>| |
+| a) $a^2 -a^4 =$ | |
-| b) <m> 27pq + 36p =  </m>| |
+| b) $-9b^4 + 4a^2 =$ | |
-| c) <m> 21xy - 7y =  </m>| |
+| c) $x^4 y^4 - z^4 =$ | |
 | **Aufgabe 4** ||
-| a) <m> 21a^2 - 24a =  </m>| |
+| a) $a^2 + 10 a + 25 =$ | |
-| b) <m> 45x^2 - 36x =  </m>| |
+| b) $y^2- 2 y + 1 =$ | |
-| c) <m> 20y + 28y^2 =  </m>| |
 | **Aufgabe 5** ||
-| a) <m> 16a^2b - 24ab^2 =  </m>| |
+| a) $9 - 24 b + 16 b^2 =$ | |
-| b) <m> 42x^2y^2 - 49xy =  </m>| |
+| b) $x^2 + 10 x + 16 =$ | |
 | **Aufgabe 6** ||
-| a) <m> 18ax -12 ay +24 az =  </m>| |
+| a) $4a^2 - 10 a x + 9 x^2 =$ | |
-| b) <m> 14 xy^2 -21 x^2y + 7xy =  </m>| |
+| b) $120a^2b + 144 a^2 + 25a^2 b^2 =$ | |
 | **Aufgabe 7** ||
-| a) <m> a (p+q) + b (p + q) =  </m>| |
+| a) $9a^4 - 12 a^2 + 4 =$ | |
-| b) <m> m (x+y) - n (x+y) =  </m>| |
+| b) $3x^2 + 52 x + 147 =$ | |
 | **Aufgabe 8** ||
-| a) <m> a(c-d) + (c-d) =  </m>| |
+| a) $a^2 + 8a + 15 =$ | |
-| b) <m> p (r+s)-u(-r-s) =  </m>| |
+| b) $b^2 -7 b + 10 =$ | |
 | **Aufgabe 9** ||
-| a) <m> (m-n) - m+n =  </m>| |
+| a) $q^2 - 8q -9 =$ | |
-| b) <m> pr + qr + ps + qs =  </m>| |
+| b) $m^2 + 5 mn - 24 n^2 =$ | |
 | **Aufgabe 10** ||
-| a) <m> 3ac + 6bc + ad + 2bd =  </m>| |
+| a) $14 m^2 - 9mn + n^2 =$ | |
-| b) <m> a^3 + ab - 2a^2 - 2b =  </m>| |
+| b) $2x^2z + 6xyz - 8 y^2 z =$ | |
-====== Binomische Formeln ======
-Hinweis zu den Herleitungen:
-Bei den Herleitungen wird jeweils schrittweise ausgeklammert und anschließend werden die gleichen Terme zusammengefasst.
-===== 1. Binomische Formel =====
-<m> (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 </m>
-Herleitung: <m> (a + b)^2 = (a + b) (a + b) = a a + a b + b a + b b = a^2 + 2 ab + b^2 </m>
-Erklärung: Zunächst wird die Potenz ² als Produkt der Klammer aufgelöst. Im Anschluss wird die erste Variable der vorderen Klammer mit allen Variablen der hinteren Klammer multipliziert und mit dem entsprechenden Vorzeichen (hier immer +) aufaddiert (a * a + a * b). Das Gleiche wird mit der zweiten Variable der ersten Klammer und allen Variablen der hinteren Klammer getan (b * a + b * b). Nun kann zusammen gefasst (a * b + b * a = 2 a * b) bzw. vereinfacht (a a = a^2  bzw.  b * b = b^2)werden.
-===== 2. Binomische Formel =====
-<m> (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 </m>
-Herleitung: <m> (a - b)^2 = (a - b) (a - b) = a a - a b - b a + b b = a^2 - 2 ab + b^2 </m>
-Erklärung: Die Vorgehensweise ist dieselbe wie bei der ersten Binomischen Formel. Allerdings ist auf das Vorzeichen der Variablen zu achten.
-===== 3. Binomische Formel =====
-<m> a^2 - b^2 = (a - b) (a + b) </m>
-Herleitung: <m> (a - b) (a + b) = a a + a b - b a - b b = a^2 - b^2 </m>
-Erklärung: Die Vorgehensweise ist dieselbe wie bei den ersten beiden Binomischen Formel. Die beiden mittleren Terme heben sich gegenseitig auf, so dass die beiden quadratischen Terme übrig bleiben.
-===== Übungsaufgaben Binomische Formeln =====
-Vereinfachen Sie die Ausdrücke, indem Sie die binomischen Formeln anwenden:
-^ **Aufgabe** ^ **Ergebnis** ^
-| **Aufgabe 11** ||
-| a) <m> a^2 -25 =  </m>| |
-| b) <m> m^2 -1 =  </m>| |
-| c) <m> 1 - p^2 =  </m>| |
-| **Aufgabe 12** ||
-| a) <m> 9a^2 -4b^2 =  </m>| |
-| b) <m> 49p^2-64q^2 =  </m>| |
-| c) <m> u^2v^2 - 1 =  </m>| |
-| **Aufgabe 13** ||
-| a) <m> a^2 -a^4 =  </m>| |
-| b) <m> -9b^4 + 4a^2 =  </m>| |
-| c) <m> x^4 y^4 - z^4 =  </m>| |
-| **Aufgabe 14** ||
-| a) <m> a^2 + 10 a + 25 =  </m>| |
-| b) <m> y^2- 2 y + 1 =  </m>| |
-| **Aufgabe 15** ||
-| a) <m> 9 - 24 b + 16 b^2 =  </m>| |
-| b) <m> x^2 + 10 x + 16 =  </m>| |
-| **Aufgabe 16** ||
-| a) <m> 4a^2 - 10 a x + 9 x^2 =  </m>| |
-| b) <m> 120a^2b + 144 a^2 + 25a^2 b^2 =  </m>| |
-| **Aufgabe 17** ||
-| a) <m> 9a^4 - 12 a^2 + 4 =  </m>| |
-| b) <m> 3x^2 + 52 x + 147 =  </m>| |
-| **Aufgabe 18** ||
-| a) <m> a^2 + 8a + 15 =  </m>| |
-| b) <m> b^2 -7 b + 10 =  </m>| |
-| **Aufgabe 19** ||
-| a) <m> q^2 - 8q -9 =  </m>| |
-| b) <m> m^2 + 5 mn - 24 n^2 =  </m>| |
-| **Aufgabe 20** ||
-| a) <m> 14 m^2 - 9mn + n^2 =  </m>| |
-| b) <m> 2x^2z + 6xyz - 8 y^2 z =  </m>| |