Unterschiede

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--- lager:mathe:start:binom_formel [2014/09/16 16:46] – richard
+++ lager:mathe:start:binom_formel [2025/11/19 17:25] (aktuell) – richard
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-Die Darstellung der Formeln ist nicht optimal, daher kann hier ein **{{:lager:mathe:start:h1-00_binomische_formeln_14-09-16.pdf|PDF heruntergeladen}}** werden.
+~~DISCUSSION:off|Ergänzungen~~
+Die Darstellung der Formeln ist nicht optimal, daher kann hier ein **{{:lager:mathe:start:h1-00_binomische_formeln_14-09-16.pdf|PDF heruntergeladen}}** werden. Die Aufgaben enthalten alle Varianten:
+  * Binomische Formeln anwenden (Ausklammern)
+  * Binomische Formeln umkehren (Zusammenfassen)
+  * Binomische Formeln ergänzen (teilweise Zusammenfassen)
 ====== Binomische Formeln ======
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 ===== 1. Binomische Formel =====
-<m> (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 </m>
+$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
-Herleitung: <m> (a + b)^2 = (a + b) (a + b) = a a + a b + b a + b b = a^2 + 2 ab + b^2 </m>
+Herleitung:  $(a + b)^2 = (a + b) (a + b) = a a + a b + b a + b b = a^2 + 2 ab + b^2$
-Erklärung: Zunächst wird die Potenz ² als Produkt der Klammer aufgelöst. Im Anschluss wird die erste Variable der vorderen Klammer mit allen Variablen der hinteren Klammer multipliziert und mit dem entsprechenden Vorzeichen (hier immer +) aufaddiert (a * a + a * b). Das Gleiche wird mit der zweiten Variable der ersten Klammer und allen Variablen der hinteren Klammer getan (b * a + b * b). Nun kann zusammen gefasst (a * b + b * a = 2 a * b) bzw. vereinfacht (a a = a^2  bzw.  b * b = b^2)werden.
+Erklärung: Zunächst wird die Potenz $^2$ als Produkt der Klammer aufgelöst. Im Anschluss wird die erste Variable der vorderen Klammer mit allen Variablen der hinteren Klammer multipliziert und mit dem entsprechenden Vorzeichen (hier immer +) aufaddiert $(a \cdot a + a \cdot b)$. Das Gleiche wird mit der zweiten Variable der ersten Klammer und allen Variablen der hinteren Klammer getan $(b \cdot a + b \cdot b)$. Nun kann zusammen gefasst $(a \cdot b + b \cdot a = 2 a \cdot b)$ bzw. vereinfacht $(a a = a^2  bzw.  b * b = b^2)$ werden.
 ===== 2. Binomische Formel =====
-<m> (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 </m>
+$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
-Herleitung: <m> (a - b)^2 = (a - b) (a - b) = a a - a b - b a + b b = a^2 - 2 ab + b^2 </m>
+Herleitung: $(a - b)^2 = (a - b) (a - b) = a a - a b - b a + b b = a^2 - 2 ab + b^2$
 Erklärung: Die Vorgehensweise ist dieselbe wie bei der ersten Binomischen Formel. Allerdings ist auf das Vorzeichen der Variablen zu achten.
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 ===== 3. Binomische Formel =====
-<m> a^2 - b^2 = (a - b) (a + b) </m>
+$a^2 - b^2 = (a - b) (a + b)$
-Herleitung: <m> (a - b) (a + b) = a a + a b - b a - b b = a^2 - b^2 </m>
+Herleitung: $(a - b) (a + b) = a a + a b - b a - b b = a^2 - b^2$
 Erklärung: Die Vorgehensweise ist dieselbe wie bei den ersten beiden Binomischen Formel. Die beiden mittleren Terme heben sich gegenseitig auf, so dass die beiden quadratischen Terme übrig bleiben.
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 Vereinfachen Sie die Ausdrücke, indem Sie die binomischen Formeln anwenden:
 ^ **Aufgabe** ^ **Ergebnis** ^
-| **Aufgabe 11** ||
+| **Aufgabe 1** ||
-| a) <m> a^2 -25 =  </m>| |
+| a) $a^2 -25 =$ | |
-| b) <m> m^2 -1 =  </m>| |
+| b) $m^2 -1 =$ | |
-| c) <m> 1 - p^2 =  </m>| |
+| c) $1 - p^2 =$ | |
-| **Aufgabe 12** ||
+| **Aufgabe 2** ||
-| a) <m> 9a^2 -4b^2 =  </m>| |
+| a) $9a^2 -4b^2 =$ | |
-| b) <m> 49p^2-64q^2 =  </m>| |
+| b) $49p^2-64q^2 =$ | |
-| c) <m> u^2v^2 - 1 =  </m>| |
+| c) $u^2v^2 - 1 =$ | |
-| **Aufgabe 13** ||
+| **Aufgabe 3** ||
-| a) <m> a^2 -a^4 =  </m>| |
+| a) $a^2 -a^4 =$ | |
-| b) <m> -9b^4 + 4a^2 =  </m>| |
+| b) $-9b^4 + 4a^2 =$ | |
-| c) <m> x^4 y^4 - z^4 =  </m>| |
+| c) $x^4 y^4 - z^4 =$ | |
-| **Aufgabe 14** ||
+| **Aufgabe 4** ||
-| a) <m> a^2 + 10 a + 25 =  </m>| |
+| a) $a^2 + 10 a + 25 =$ | |
-| b) <m> y^2- 2 y + 1 =  </m>| |
+| b) $y^2- 2 y + 1 =$ | |
-| **Aufgabe 15** ||
+| **Aufgabe 5** ||
-| a) <m> 9 - 24 b + 16 b^2 =  </m>| |
+| a) $9 - 24 b + 16 b^2 =$ | |
-| b) <m> x^2 + 10 x + 16 =  </m>| |
+| b) $x^2 + 10 x + 16 =$ | |
-| **Aufgabe 16** ||
+| **Aufgabe 6** ||
-| a) <m> 4a^2 - 10 a x + 9 x^2 =  </m>| |
+| a) $4a^2 - 10 a x + 9 x^2 =$ | |
-| b) <m> 120a^2b + 144 a^2 + 25a^2 b^2 =  </m>| |
+| b) $120a^2b + 144 a^2 + 25a^2 b^2 =$ | |
-| **Aufgabe 17** ||
+| **Aufgabe 7** ||
-| a) <m> 9a^4 - 12 a^2 + 4 =  </m>| |
+| a) $9a^4 - 12 a^2 + 4 =$ | |
-| b) <m> 3x^2 + 52 x + 147 =  </m>| |
+| b) $3x^2 + 52 x + 147 =$ | |
-| **Aufgabe 18** ||
+| **Aufgabe 8** ||
-| a) <m> a^2 + 8a + 15 =  </m>| |
+| a) $a^2 + 8a + 15 =$ | |
-| b) <m> b^2 -7 b + 10 =  </m>| |
+| b) $b^2 -7 b + 10 =$ | |
-| **Aufgabe 19** ||
+| **Aufgabe 9** ||
-| a) <m> q^2 - 8q -9 =  </m>| |
+| a) $q^2 - 8q -9 =$ | |
-| b) <m> m^2 + 5 mn - 24 n^2 =  </m>| |
+| b) $m^2 + 5 mn - 24 n^2 =$ | |
-| **Aufgabe 20** ||
+| **Aufgabe 10** ||
-| a) <m> 14 m^2 - 9mn + n^2 =  </m>| |
+| a) $14 m^2 - 9mn + n^2 =$ | |
-| b) <m> 2x^2z + 6xyz - 8 y^2 z =  </m>| |
+| b) $2x^2z + 6xyz - 8 y^2 z =$ | |