Funktionssynthese

Übungsaufgaben Funktionssynthese

1. Ermitteln Sie die Funktionsgleichung der ganzrationalen Funktion 3. Grades, die eine Nullstelle bei , eine Wendestelle bei , die y-Achse bei 4 in einem Maximum schneidet.

Begriffserklärung zum Mathematikbuch Pfeffer Auflage 7:

Begriff aus Buch	Unsere Bedeutung
Flachpunkt	Sattelpunkt
Abszisse	x-Achse
Wendetangente	Tangente im Wendepunkt

Hinweise, welche Gleichungen aus den Eigenschaften erstellt werden können:

(nur zum Üben NICHT für die Formelsammlung):

Eigenschaft	mathematische Bedingung
Extremum1) Extremum: Hochpunkt oder Tiefpunkt in xE	f´(xE) = 0
Wendepunkt in W(xW , yW )	f´´ (xW) = 0 und f(xW) = yW
Nullstelle bei xN	f(xN) = 0
Punkt P(xP, yP ) auf f(x)	f(xP) = yP
Tangente t(x) = mt x + b bei xt	f´(xt) = mt und f(xt) =t(xt)
Tangente t(x) im Punkt P(xP, yP ) ist parallel zur Geraden g(x) = mg x + b	f´(xP) = mg und f(xP) = yP
f(x) schneidet die Gerade g(x) = mg x + b auf der y-Achse	f(0) = b
Wendetangente t(x) = mt x + b bei xW	f´´ (xW) = 0 und f´(xW) = mt

Hinweis: t(xt) ist ein eigens zu berechnender Wert!

Cornelsen S. 184 Aufgabe 2 Lösungsansätze für die Eigenschaften in der Reihenfolge des Aufgabentextes.

Aufgabe	Ansatz
a	3. Grades
<m>a_2 = a_0 = 0</m>
f(-1)=0
f´(2) = 1
b	3. Grades
<m>a_2 = a_0 = 0</m>
f(2)=-4
f´(2) = 0
c	3. Grades
<m>a_0 = 0</m>
f´(2) = 0
f´´(4) = 0
f´(4) = -4
d	3. Grades
f(0)= 7,2
f´(0) = 0
f(-2)=0
f(3)=0
e	4. Grades
<m>a_3 = a_1 = 0</m>
f(2)=0
f´(2) = 2
f´´(-1) = 0
f	5. Grades
<m>a_4 = a_2 = a_0 = 0</m>
f(-1)=-2
f´(-1) = 0
f(2)=-13,25
g	3. Grades
<m>a_0 = 0</m>
f(1)=2
f´(1) = 0
f´´(1) = 0
h	3. Grades
<m>a_2 = a_0 = 0</m>
f(6)=0
f´(0) = 2
f´´(0) = 0
i	4. Grades
<m>a_0 = 0</m>
f´(0) = 0
f(4)=0
f´(4) = 0
f´(1) = 12
j	4. Grades
<m>a_3 = a_1 = 0</m>
f(-2)=0
f(1)=-3
f´(1) = -1
k	3. Grades
f(0)=0
f(-3)=0
f´(3) = 0
f(3) = 6
l	3. Grades
f(4)=0
f´(4)=0
f´´(8/3) = 0
f´(8/3) = -4/3
m	4. Grades
f(-1)=0
f´(-1)=0
f´(2) = 0
f´´(2) = 0
f´(2) = 6,75