Integralrechnung - Aufgaben

Unbestimmtes Integral

Gegeben ist eine Funktion:

Gesucht ist: (Stammfunktion; reine Integration keine Grenzen)

Bestimmtes Integral

Gegeben ist eine Funktion:

Gesucht ist: Integral im Intervall

Flächen werden miteinander verrechnet (vgl. Gewinn-Verlust-Rechnung in einem Zeitabschnitt)

Bestimmung der Stammfunktion durch Punkt

Gegeben ist eine Funktion: und ein Punkt P

Gesucht ist: mit eindeutigem

Bestimmen Sie die Stammfunktion F(x), die durch den Punkt P verläuft.

Allgemeine Stammfunktion ermitteln (mit C).

Einsetzen der Punkt Koordinaten , wenn

Flächenberechnung (allgemein)

Gegeben ist eine Funktion:

Gesucht ist:

Ermitteln der Nullstellen, um die Teilflächen zu ermitteln. Nullstellen:

Überprüfen, welche Nullstellen in das Integrationsintervall fallen. z.B.: und fallen in das Integrationsintervall

Gesamtes Integral entsprechend der unter 2. ermittelten Nullstellen in Teilflächen unterteilen.

Stammfunktion ermitteln.

Integral über Stammfunktion (mit Beträgen) berechnen.

Flächenberechnung zwischen zwei Funktionen

Gegeben sind zwei Funktionen: und

Gesucht ist:

Differenzfunktion bilden.

Nullstellen der Differenzfunktion ermitteln (diese entsprechen den Schnittstellen von und ).

Fläche, die von der Differenzfunktion eingeschlossen wird (von Nullstelle zu Nullstelle), berechnen.

(HINWEIS: Häufig wird bei Schnittflächen noch eine Skizze verlangt, nachdem die notwendigen Punkte ermittelt wurden. Bei diesen beiden Funktionen ist dies nicht möglich, da die Nullstellen von und nicht ganzzahlig sind.)

Integralrechnung - Berechnung einer unbekannten Grenze

Gegeben ist eine Funktion: , und

Gesucht ist: bei

Bestimmen Sie die Grenze so, dass die von der Funktion eingeschlossene Fläche einem gegebenen Flächenwert entspricht!

Integral ggf. aufteilen, wenn Nullstellen vorhanden sind.

Gleichsetzen mit gegebener Fläche , da ein Zahlenwert ist ( ist gegeben), kann nach b aufgelöst werden.

Bei mehreren Lösungen für (z.B. bei ) muss noch eine Plausibilitätsprüfung durchgeführt werden, welcher der Zahlenwerte die gesuchte Lösung darstellt.

Aufgabensammlung

Stammfunktion bzw. unbestimmtes Integral

Bestimmen Sie die Stammfunktion / das unbestimmte Integral zu den gegebenen Funktionen:

a)	b)
c)	d)

Bestimmtes Integral

Bestimmen Sie das bestimmte Integral zwischen -1 und 3 der folgenden Funktionen sofern keine anderen Grenzen angegeben wurden:

a)	b)
c)	d)

Stammfunktion durch einen Punkt

Geben Sie die Stammfunktionen der folgenden Funktionen an, sodass die Graphen der Stammfunktionen jeweils durch den Punkt verlaufen.

a)	b)
c)

Flächenberechnung (allgemein)

Bestimmen Sie die Fläche , die von der x-Achse und dem Graphen der Funktion eingeschlossen wird.

Bestimmen Sie die Fläche im Intervall , die von der x-Achse, dem Funktionsgraphen von eingeschlossen wird.

Schnittfläche

Bestimmen Sie die Schnittpunkte der folgenden Funktionen und ermitteln Sie die durch die Graphen der beiden Funktionen und begrenzte Fläche .

Integralrechnung - Berechnung einer unbekannten Grenze

Bestimmen Sie die Integrationsgrenze für die folgenden Integrale.

Lösungen (nicht sortiert)