Faktorisieren

Erklärung

Unter Faktorisieren versteht man das Ausklammern von gemeinsamen Faktoren. Eine ganze Zahl kann immer in einem Produkt aus mehreren Faktoren dargestellt werden.

Beispiel: <m> 24 = 2 * 2 * 2 * 3 </m>

Dabei sind die Faktor 2 und 3 nur noch durch 1 und sich selbst teilbar. Sie werden auch Primzahlen genannt. Möchte man einen Term faktorisieren sucht man von allen Zahlen die gemeinsamen Primzahlen und bildet daraus den Faktor, den man ausklammern kann.

Beispiel: <m> 24 x + 15 y = </m>

<m> 24 = 2 * 2 * 2 * 3 </m>

<m> 15 = 3 * 5 </m>

In 24 und 15 kommt die 3 vor, diese kann demnach ausgeklammert werden. Bei 24 bleibt noch <m> 2 * 2 * 2 = 8 </m> übrig und bei 15 nur noch die 5 selbst.

Also: <m> 24 x + 15 y = 3 (8 x + 5 y) </m>

Wenn nur Variablen vorkommen, so können auch hier die gemeinsamen Faktoren (in dem Fall Variablen) ausgeklammert werden.

Beispiel: <m> a^2 b^4 + 3 b^3 = </m>

<m> a^2 b^4 = a*a * b*b*b*b </m>

<m> 3 b^3 = 3 * b*b*b </m>

Der Faktor <m> b * b * b </m> ist in beiden Termen enthalten und kann somit ausgeklammert werden.

<m> a^2 b^4 + 3 b^4 = b^3 ( a^2 b + 3) </m>

Übungsaufgaben Faktorisieren

Faktorisieren Sie so weit wie möglich:1) Urheber aller Aufgaben: U. Niedermeyer

Aufgabe	Ergebnis
Aufgabe 1
a) <m> 8a-12b = </m>
b) <m> 15m - 9n = </m>
c) <m> 22x - 11 = </m>
Aufgabe 2
a) <m> ab - ac = </m>
b) <m> pq + qr = </m>
c) <m> y	2 - xy = </m>
Aufgabe 3
a) <m> 15ab - 25a = </m>
b) <m> 27pq + 36p = </m>
c) <m> 21xy - 7y = </m>
Aufgabe 4
a) <m> 21a	2 - 24a = </m>
b) <m> 45x	2 - 36x = </m>
c) <m> 20y + 28y	2 = </m>
Aufgabe 5
a) <m> 16a	2b - 24ab	2 = </m>
b) <m> 42x	2y	2 - 49xy = </m>
Aufgabe 6
a) <m> 18ax -12 ay +24 az = </m>
b) <m> 14 xy	2 -21 x	2y + 7xy = </m>
Aufgabe 7
a) <m> a (p+q) + b (p + q) = </m>
b) <m> m (x+y) - n (x+y) = </m>
Aufgabe 8
a) <m> a(c-d) + (c-d) = </m>
b) <m> p (r+s)-u(-r-s) = </m>
Aufgabe 9
a) <m> (m-n) - m+n = </m>
b) <m> pr + qr + ps + qs = </m>
Aufgabe 10
a) <m> 3ac + 6bc + ad + 2bd = </m>
b) <m> a	3 + ab - 2a	2 - 2b = </m>

Binomische Formeln

Hinweis zu den Herleitungen: Bei den Herleitungen wird jeweils schrittweise ausgeklammert und anschließend werden die gleichen Terme zusammengefasst.

1. Binomische Formel

<m> (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 </m>

Herleitung: <m> (a + b)^2 = (a + b) (a + b) = a a + a b + b a + b b = a^2 + 2 ab + b^2 </m>

2. Binomische Formel

<m> (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 </m>

Herleitung: <m> (a - b)^2 = (a - b) (a - b) = a a - a b - b a + b b = a^2 - 2 ab + b^2 </m>

3. Binomische Formel

<m> a^2 - b^2 = (a - b) (a + b) </m>

Herleitung: <m> (a - b) (a + b) = a a + a b - b a - b b = a^2 - b^2 </m>

Übungsaufgaben Binomische Formeln

Vereinfachen Sie die Ausdrücke, indem Sie die binomischen Formeln anwenden:

Aufgabe	Ergebnis
Aufgabe 11
a) <m> a	2 -25 = </m>
b) <m> m	2 -1 = </m>
c) <m> 1 - p	2 = </m>
Aufgabe 12
a) <m> 9a	2 -4b	2 = </m>
b) <m> 49p	2-64q	2 = </m>
c) <m> u	2v	2 - 1 = </m>
Aufgabe 13
a) <m> a	2 -a	4 = </m>
b) <m> -9b	4 + 4a	2 = </m>
c) <m> x	4 y	4 - z	4 = </m>
Aufgabe 14
a) <m> a	2 + 10 a + 25 = </m>
b) <m> y	2- 2 y + 1 = </m>
Aufgabe 15
a) <m> 9 - 24 b + 16 b	2 = </m>
b) <m> x	2 + 10 x + 16 = </m>
Aufgabe 16
a) <m> 4a	2 - 10 a x + 9 x	2 = </m>
b) <m> 120a	2b + 144 a	2 + 25a	2 b	2 = </m>
Aufgabe 17
a) <m> 9a	4 - 12 a	2 + 4 = </m>
b) <m> 3x	2 + 52 x + 147 = </m>
Aufgabe 18
a) <m> a	2 + 8a + 15 = </m>
b) <m> b	2 -7 b + 10 = </m>
Aufgabe 19
a) <m> q	2 - 8q -9 = </m>
b) <m> m	2 + 5 mn - 24 n	2 = </m>
Aufgabe 20
a) <m> 14 m	2 - 9mn + n	2 = </m>
b) <m> 2x	2z + 6xyz - 8 y	2 z = </m>