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lager:mathe:extremw:aufgaben

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lager:mathe:extremw:aufgaben [18.03.2020 17:57]
hhaus
lager:mathe:extremw:aufgaben [03.04.2020 09:23]
richard
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 ====== Extremwertaufgaben ====== ====== Extremwertaufgaben ======
 +
 +===== Beispiel Rechteckfläche =====
 +Es soll ein rechteckiger Sandkasten gebaut werden. Der Sandkasten soll flächenmäßig so groß wie möglich werden. Zur Verfügung stehen zwei 8 m lange Bretter. Wie lang müssen die Kanten gewählt werden, damit die Grundfläche des Sandkastens maximal wird?
 +
 +==== 1. Skizze erstellen ====
 +{{:​lager:​mathe:​extremw:​skizze_rechteck.png?​400|}}
 +
 +==== 2.  Aufstellen der Hauptbedingung/​Zielfunktion ====
 +Welche Größe soll hier "​optimiert"​ werden? Die Fläche! Demnach ergibt sich die Hauptbedingung zu: $A=x \cdot y $
 +
 +==== 3. Aufstellen der Nebenbedingung/​Randbedingung ====
 +Welche weiteren Informationen enthält die Aufgabenstellung,​ um Unbekannte zu eliminieren?​ Es stehen zwei Bretter je 8 m zur Verfügung. Der Umfang beträgt demnach 16 m!
 +
 +$\Rightarrow$ Nebenbedingung:​ $2~x+2~y=16$ $\Rightarrow$ $x+y=8$ $\Rightarrow$ $y=8-x$ ​
 +
 +==== 4. Hauptfunktion/​Zielfunktion mittels Nebenbedingung/​Randbedingung vereinfachen ====
 +Einsetzen der Nebenbedingung in die Hauptbedingung führt zu:
 +
 +$A(x)=x \cdot (8-x)=8x-x^2$
 +
 +==== 5. Extremum (Optimum) ermitteln ====
 +Notwendige Bedingung: $A'​(x)=0$
 +
 +$A'​(x)=8-2x=0 \Rightarrow x=4$
 +
 +Hinreichende Bedingung: $A''​(x)\neq0$
 +
 +$A''​(4)=-2 <0 \Rightarrow$ Es handelt sich um ein Maximum $\checkmark$
 +
 +==== 6. Lösung ermitteln ====
 +Durch einsetzen von $x$ in die Nebenbedingung kann nun noch $y$ bestimmt werden:
 +
 +$y=8-x=8-4=4 $ 
 +
 +**Antwort**:​ Die größte Fläche resultiert wenn als Grundfläche ein Quadrat mit den Kantenlängen $x=y=4$ gewählt wird.
  
 ===== Beispiel Dosenoptimierung ===== ===== Beispiel Dosenoptimierung =====
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 ==== 1. Skizze erstellen ==== ==== 1. Skizze erstellen ====
-{{:​lager:​mathe:​extremw:​skizze_dose.png?​600|}}+{{:​lager:​mathe:​extremw:​skizze_dose.png?​700|}}
  
  
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 a) Wie viel Stück Ware sollten produziert werden, damit der Gewinn maximal wird? a) Wie viel Stück Ware sollten produziert werden, damit der Gewinn maximal wird?
  
-b) Wie groß ist der Gesamtgewinn?+b) Wie groß ist der Maximalgewinn?
  
-c) Wie groß ist der Erlös pro Stück?+c) Wie groß ist der Erlös pro Stück ​beim Maximalgewinn?
  
 +
 +Lösungsskizze:​\\
 +a)\\
 +  * Gewinn $G(x) = E(x) - K(x)$\\ (Gewinn= Erlös - Kosten)
 +  * $G'​(x)$ und $G''​(x)$ bestimmen
 +  * Maximum mittels $G'​(x_E)=0$ berechnen
 +  * Mit $G''​(x)$ überprüfen
 +  * $Menge_max=x_E \cdot 10.000 St$\\ gemeint ist die Menge (Stück) an Waren
 +
 +b)\\
 +  * $Maximalgewinn= G(x_E) \cdot 10.000 €$\\ (10.000€ s. Normierung für K(x)
 +
 +c)\\
 +  * Gesamterlös$ = E(x_E) \cdot 10.000 €$\\ für die gesamte Menge in €
 +  * Stückerlös$ = \frac{Gesamterlös }{x_E \cdot 10.000}$\\ Erlös für jedes einzelne Stück
 ====== Aufgaben zu Extremwertaufgaben aus dem Buch ====== ====== Aufgaben zu Extremwertaufgaben aus dem Buch ======
  
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 | Aufgabe | 192 | A3 |$a=10,​95~;​~b=10,​95$| | Aufgabe | 192 | A3 |$a=10,​95~;​~b=10,​95$|
 | Aufgabe | 192 | A4 |$r=0,​7~;​~h=0,​7$| | Aufgabe | 192 | A4 |$r=0,​7~;​~h=0,​7$|
-| Aufgabe | 192 | A5 |$x=4~;​~A_{max}=8m^2$|+| Aufgabe | 192 | A5 |$x=4~;​~A_{max}=8m^2$ ​ACHTUNG: Fehler in der Skizze (s.u.) ​|
 | Aufgabe | 192 | A6 |$x\approx 3,3~;~ k(3,3) \approx 103941,13$| | Aufgabe | 192 | A6 |$x\approx 3,3~;~ k(3,3) \approx 103941,13$|
 | Aufgabe | 193 | A12 |a) $C(4|\frac{8}{3})$;​ b) $l_1=4~\text{LE},​ ~l_2=\frac{8}{3}~\text{LE}$ | | Aufgabe | 193 | A12 |a) $C(4|\frac{8}{3})$;​ b) $l_1=4~\text{LE},​ ~l_2=\frac{8}{3}~\text{LE}$ |
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 |  |  | A13 |d) $U_{max}=8,​29~\text{LE};​ U_{min}=4,​76~\text{LE}$| |  |  | A13 |d) $U_{max}=8,​29~\text{LE};​ U_{min}=4,​76~\text{LE}$|
 /* | Aufgaben | 192ff | A5 A6 A12 A13 u.a. | * /* | Aufgaben | 192ff | A5 A6 A12 A13 u.a. | *
 +
 +Korrektur Skizze: S.192 A5 (Kiosk)
 +{{:​lager:​mathe:​extremw:​h2-06_cornelsen_s192_a5_korrektur.png?​200|}}
  
  
Zeile 87: Zeile 140:
  
 ^ Thema ^ Seite ^ Aufgabe ^ Lösung ^ ^ Thema ^ Seite ^ Aufgabe ^ Lösung ^
-| Extremwertberechung |  | Erklärung | +| Extremwertberechung | 186f | Erklärung | 
-| Extremwertberechung Vorgehensweise |  | Erklärung | +| Extremwertberechung Vorgehensweise | 189 | Erklärung | 
-| Aufgaben |  | A1, A2 |siehe S. | +| Aufgaben | 190 | A1, A2 | siehe S. 423 
-| Aufgabe |  | A1 |$a=5~;​~b=5~;​~d=7,​07$| +| Aufgabe | 192 | A1 |$a=5~;​~b=5~;​~d=7,​07$| 
-| Aufgabe |  | A2 |$g=40~;​~a=40~;​~h=34,​64$| +| Aufgabe | 192 | A2 |$g=40~;​~a=40~;​~h=34,​64$| 
-| Aufgabe |  | A3 |$a=10,​95~;​~b=10,​95$| +| Aufgabe | 192 | A3 |$a=10,​95~;​~b=10,​95$| 
-| Aufgabe |  | A4 |$r=0,​7~;​~h=0,​7$| +| Aufgabe | 192 | A4 |$r=0,​7~;​~h=0,​7$| 
-| Aufgabe |  | A5 |$x=4~;​~A_{max}=8m^2$| +| Aufgabe | 192 | A5 |$x=4~;​~A_{max}=8m^2$| 
-| Aufgabe |  | A6 |$x\approx 3,3~;~ k(3,3) \approx 103941,​13$| +| Aufgabe | 192 | A6 |$x\approx 3,3~;~ k(3,3) \approx 103941,​13$| 
-| Aufgabe |  | A12 |a) $C(4|\frac{8}{3})$;​ b) $l_1=4~\text{LE},​ ~l_2=\frac{8}{3}~\text{LE}$ | +| Aufgabe | 193 | A12 |a) $C(4|\frac{8}{3})$;​ b) $l_1=4~\text{LE},​ ~l_2=\frac{8}{3}~\text{LE}$ | 
-| Aufgabe |  | A13 |a) $u=1,​5~;​~v=2,​53125$;​ b) $A_{max} \approx 3,​8~\text{FE} $; ... | +| Aufgabe | 193 | A13 |a) $u=1,​5~;​~v=2,​53125$;​ b) $A_{max} \approx 3,​8~\text{FE} $; ... | 
-|  |  | A13 |c) max: $u\approx 1,​15~\text{&​}~v \approx 2,99$ $;$ min: $u\approx 2,​38~\text{&​}~v=0$;​ ...| +|  | 193 | A13 |c) max: $u\approx 1,​15~\text{&​}~v \approx 2,99$ $;$ min: $u\approx 2,​38~\text{&​}~v=0$;​ ...| 
-|  |  | A13 |d) $U_{max}=8,​29~\text{LE};​ U_{min}=4,​76~\text{LE}$|+|  | 193 | A13 |d) $U_{max}=8,​29~\text{LE};​ U_{min}=4,​76~\text{LE}$|
 /* | Aufgaben | 192ff | A5 A6 A12 A13 u.a. | * /* | Aufgaben | 192ff | A5 A6 A12 A13 u.a. | *
  
lager/mathe/extremw/aufgaben.txt · Zuletzt geändert: 03.04.2020 09:23 von richard