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lager:mathe:extremw:aufgaben
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lager:mathe:extremw:aufgaben [18.03.2020 17:57] hhaus |
lager:mathe:extremw:aufgaben [03.04.2020 09:23] richard [Extremwertaufgaben] |
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| ====== Extremwertaufgaben ====== | ====== Extremwertaufgaben ====== | ||
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| + | ===== Beispiel Rechteckfläche ===== | ||
| + | Es soll ein rechteckiger Sandkasten gebaut werden. Der Sandkasten soll flächenmäßig so groß wie möglich werden. Zur Verfügung stehen zwei 8 m lange Bretter. Wie lang müssen die Kanten gewählt werden, damit die Grundfläche des Sandkastens maximal wird? | ||
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| + | ==== 1. Skizze erstellen ==== | ||
| + | {{:lager:mathe:extremw:skizze_rechteck.png?400|}} | ||
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| + | ==== 2. Aufstellen der Hauptbedingung/Zielfunktion ==== | ||
| + | Welche Größe soll hier "optimiert" werden? Die Fläche! Demnach ergibt sich die Hauptbedingung zu: $A=x \cdot y $ | ||
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| + | ==== 3. Aufstellen der Nebenbedingung/Randbedingung ==== | ||
| + | Welche weiteren Informationen enthält die Aufgabenstellung, um Unbekannte zu eliminieren? Es stehen zwei Bretter je 8 m zur Verfügung. Der Umfang beträgt demnach 16 m! | ||
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| + | $\Rightarrow$ Nebenbedingung: $2~x+2~y=16$ $\Rightarrow$ $x+y=8$ $\Rightarrow$ $y=8-x$ | ||
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| + | ==== 4. Hauptfunktion/Zielfunktion mittels Nebenbedingung/Randbedingung vereinfachen ==== | ||
| + | Einsetzen der Nebenbedingung in die Hauptbedingung führt zu: | ||
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| + | $A(x)=x \cdot (8-x)=8x-x^2$ | ||
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| + | ==== 5. Extremum (Optimum) ermitteln ==== | ||
| + | Notwendige Bedingung: $A'(x)=0$ | ||
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| + | $A'(x)=8-2x=0 \Rightarrow x=4$ | ||
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| + | Hinreichende Bedingung: $A''(x)\neq0$ | ||
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| + | $A''(4)=-2 <0 \Rightarrow$ Es handelt sich um ein Maximum $\checkmark$ | ||
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| + | ==== 6. Lösung ermitteln ==== | ||
| + | Durch einsetzen von $x$ in die Nebenbedingung kann nun noch $y$ bestimmt werden: | ||
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| + | $y=8-x=8-4=4 $ | ||
| + | |||
| + | **Antwort**: Die größte Fläche resultiert wenn als Grundfläche ein Quadrat mit den Kantenlängen $x=y=4$ gewählt wird. | ||
| ===== Beispiel Dosenoptimierung ===== | ===== Beispiel Dosenoptimierung ===== | ||
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| ==== 1. Skizze erstellen ==== | ==== 1. Skizze erstellen ==== | ||
| - | {{:lager:mathe:extremw:skizze_dose.png?600|}} | + | {{:lager:mathe:extremw:skizze_dose.png?700|}} |
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| a) Wie viel Stück Ware sollten produziert werden, damit der Gewinn maximal wird? | a) Wie viel Stück Ware sollten produziert werden, damit der Gewinn maximal wird? | ||
| - | b) Wie groß ist der Gesamtgewinn? | + | b) Wie groß ist der Maximalgewinn? |
| - | c) Wie groß ist der Erlös pro Stück? | + | c) Wie groß ist der Erlös pro Stück beim Maximalgewinn? |
| + | |||
| + | Lösungsskizze:\\ | ||
| + | a)\\ | ||
| + | * Gewinn $G(x) = E(x) - K(x)$\\ (Gewinn= Erlös - Kosten) | ||
| + | * $G'(x)$ und $G''(x)$ bestimmen | ||
| + | * Maximum mittels $G'(x_E)=0$ berechnen | ||
| + | * Mit $G''(x)$ überprüfen | ||
| + | * $Menge_{max}=x_E \cdot 10.000 St$\\ gemeint ist die Menge (Stück) an Waren | ||
| + | |||
| + | b)\\ | ||
| + | * $Maximalgewinn= G(x_E) \cdot 10.000 €$\\ (10.000€ s. Normierung für K(x) | ||
| + | |||
| + | c)\\ | ||
| + | * Gesamterlös$ = E(x_E) \cdot 10.000 €$\\ für die gesamte Menge in € | ||
| + | * Stückerlös$ = \frac{Gesamterlös }{x_E \cdot 10.000}$\\ Erlös für jedes einzelne Stück | ||
| ====== Aufgaben zu Extremwertaufgaben aus dem Buch ====== | ====== Aufgaben zu Extremwertaufgaben aus dem Buch ====== | ||
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| | Aufgabe | 192 | A3 |$a=10,95~;~b=10,95$| | | Aufgabe | 192 | A3 |$a=10,95~;~b=10,95$| | ||
| | Aufgabe | 192 | A4 |$r=0,7~;~h=0,7$| | | Aufgabe | 192 | A4 |$r=0,7~;~h=0,7$| | ||
| - | | Aufgabe | 192 | A5 |$x=4~;~A_{max}=8m^2$| | + | | Aufgabe | 192 | A5 |$x=4~;~A_{max}=8m^2$ ACHTUNG: Fehler in der Skizze (s.u.) | |
| | Aufgabe | 192 | A6 |$x\approx 3,3~;~ k(3,3) \approx 103941,13$| | | Aufgabe | 192 | A6 |$x\approx 3,3~;~ k(3,3) \approx 103941,13$| | ||
| | Aufgabe | 193 | A12 |a) $C(4|\frac{8}{3})$; b) $l_1=4~\text{LE}, ~l_2=\frac{8}{3}~\text{LE}$ | | | Aufgabe | 193 | A12 |a) $C(4|\frac{8}{3})$; b) $l_1=4~\text{LE}, ~l_2=\frac{8}{3}~\text{LE}$ | | ||
| Zeile 82: | Zeile 132: | ||
| | | | A13 |d) $U_{max}=8,29~\text{LE}; U_{min}=4,76~\text{LE}$| | | | | A13 |d) $U_{max}=8,29~\text{LE}; U_{min}=4,76~\text{LE}$| | ||
| /* | Aufgaben | 192ff | A5 A6 A12 A13 u.a. | * | /* | Aufgaben | 192ff | A5 A6 A12 A13 u.a. | * | ||
| + | |||
| + | Korrektur Skizze: S.192 A5 (Kiosk) | ||
| + | {{:lager:mathe:extremw:h2-06_cornelsen_s192_a5_korrektur.png?200|}} | ||
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| ^ Thema ^ Seite ^ Aufgabe ^ Lösung ^ | ^ Thema ^ Seite ^ Aufgabe ^ Lösung ^ | ||
| - | | Extremwertberechung | | Erklärung | | + | | Extremwertberechung | 186f | Erklärung | |
| - | | Extremwertberechung Vorgehensweise | | Erklärung | | + | | Extremwertberechung Vorgehensweise | 189 | Erklärung | |
| - | | Aufgaben | | A1, A2 |siehe S. | | + | | Aufgaben | 190 | A1, A2 | siehe S. 423 | |
| - | | Aufgabe | | A1 |$a=5~;~b=5~;~d=7,07$| | + | | Aufgabe | 192 | A1 |$a=5~;~b=5~;~d=7,07$| |
| - | | Aufgabe | | A2 |$g=40~;~a=40~;~h=34,64$| | + | | Aufgabe | 192 | A2 |$g=40~;~a=40~;~h=34,64$| |
| - | | Aufgabe | | A3 |$a=10,95~;~b=10,95$| | + | | Aufgabe | 192 | A3 |$a=10,95~;~b=10,95$| |
| - | | Aufgabe | | A4 |$r=0,7~;~h=0,7$| | + | | Aufgabe | 192 | A4 |$r=0,7~;~h=0,7$| |
| - | | Aufgabe | | A5 |$x=4~;~A_{max}=8m^2$| | + | | Aufgabe | 192 | A5 |$x=4~;~A_{max}=8m^2$| |
| - | | Aufgabe | | A6 |$x\approx 3,3~;~ k(3,3) \approx 103941,13$| | + | | Aufgabe | 192 | A6 |$x\approx 3,3~;~ k(3,3) \approx 103941,13$| |
| - | | Aufgabe | | A12 |a) $C(4|\frac{8}{3})$; b) $l_1=4~\text{LE}, ~l_2=\frac{8}{3}~\text{LE}$ | | + | | Aufgabe | 193 | A12 |a) $C(4|\frac{8}{3})$; b) $l_1=4~\text{LE}, ~l_2=\frac{8}{3}~\text{LE}$ | |
| - | | Aufgabe | | A13 |a) $u=1,5~;~v=2,53125$; b) $A_{max} \approx 3,8~\text{FE} $; ... | | + | | Aufgabe | 193 | A13 |a) $u=1,5~;~v=2,53125$; b) $A_{max} \approx 3,8~\text{FE} $; ... | |
| - | | | | A13 |c) max: $u\approx 1,15~\text{&}~v \approx 2,99$ $;$ min: $u\approx 2,38~\text{&}~v=0$; ...| | + | | | 193 | A13 |c) max: $u\approx 1,15~\text{&}~v \approx 2,99$ $;$ min: $u\approx 2,38~\text{&}~v=0$; ...| |
| - | | | | A13 |d) $U_{max}=8,29~\text{LE}; U_{min}=4,76~\text{LE}$| | + | | | 193 | A13 |d) $U_{max}=8,29~\text{LE}; U_{min}=4,76~\text{LE}$| |
| /* | Aufgaben | 192ff | A5 A6 A12 A13 u.a. | * | /* | Aufgaben | 192ff | A5 A6 A12 A13 u.a. | * | ||
lager/mathe/extremw/aufgaben.txt · Zuletzt geändert: 03.04.2020 09:23 von richard
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