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--- lager:mathe:extremw:aufgaben [18.03.2020 16:57] – hhaus
+++ lager:mathe:extremw:aufgaben [03.04.2020 07:23] – [Extremwertaufgaben] richard
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 ====== Extremwertaufgaben ======
+===== Beispiel Rechteckfläche =====
+Es soll ein rechteckiger Sandkasten gebaut werden. Der Sandkasten soll flächenmäßig so groß wie möglich werden. Zur Verfügung stehen zwei 8 m lange Bretter. Wie lang müssen die Kanten gewählt werden, damit die Grundfläche des Sandkastens maximal wird?
+==== 1. Skizze erstellen ====
+{{:lager:mathe:extremw:skizze_rechteck.png?400|}}
+==== 2.  Aufstellen der Hauptbedingung/Zielfunktion ====
+Welche Größe soll hier "optimiert" werden? Die Fläche! Demnach ergibt sich die Hauptbedingung zu: $A=x \cdot y $
+==== 3. Aufstellen der Nebenbedingung/Randbedingung ====
+Welche weiteren Informationen enthält die Aufgabenstellung, um Unbekannte zu eliminieren? Es stehen zwei Bretter je 8 m zur Verfügung. Der Umfang beträgt demnach 16 m!
+$\Rightarrow$ Nebenbedingung: $2~x+2~y=16$ $\Rightarrow$ $x+y=8$ $\Rightarrow$ $y=8-x$
+==== 4. Hauptfunktion/Zielfunktion mittels Nebenbedingung/Randbedingung vereinfachen ====
+Einsetzen der Nebenbedingung in die Hauptbedingung führt zu:
+$A(x)=x \cdot (8-x)=8x-x^2$
+==== 5. Extremum (Optimum) ermitteln ====
+Notwendige Bedingung: $A'(x)=0$
+$A'(x)=8-2x=0 \Rightarrow x=4$
+Hinreichende Bedingung: $A''(x)\neq0$
+$A''(4)=-2 <0 \Rightarrow$ Es handelt sich um ein Maximum $\checkmark$
+==== 6. Lösung ermitteln ====
+Durch einsetzen von $x$ in die Nebenbedingung kann nun noch $y$ bestimmt werden:
+$y=8-x=8-4=4 $
+**Antwort**: Die größte Fläche resultiert wenn als Grundfläche ein Quadrat mit den Kantenlängen $x=y=4$ gewählt wird.
 ===== Beispiel Dosenoptimierung =====
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 ==== 1. Skizze erstellen ====
-{{:lager:mathe:extremw:skizze_dose.png?600|}}
+{{:lager:mathe:extremw:skizze_dose.png?700|}}
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 a) Wie viel Stück Ware sollten produziert werden, damit der Gewinn maximal wird?
-b) Wie groß ist der Gesamtgewinn?
+b) Wie groß ist der Maximalgewinn?
-c) Wie groß ist der Erlös pro Stück?
+c) Wie groß ist der Erlös pro Stück beim Maximalgewinn?
+Lösungsskizze:\\
+a)\\
+  * Gewinn $G(x) = E(x) - K(x)$\\ (Gewinn= Erlös - Kosten)
+  * $G'(x)$ und $G''(x)$ bestimmen
+  * Maximum mittels $G'(x_E)=0$ berechnen
+  * Mit $G''(x)$ überprüfen
+  * $Menge_{max}=x_E \cdot 10.000 St$\\ gemeint ist die Menge (Stück) an Waren
+b)\\
+  * $Maximalgewinn= G(x_E) \cdot 10.000 €$\\ (10.000€ s. Normierung für K(x)
+c)\\
+  * Gesamterlös$ = E(x_E) \cdot 10.000 €$\\ für die gesamte Menge in €
+  * Stückerlös$ = \frac{Gesamterlös }{x_E \cdot 10.000}$\\ Erlös für jedes einzelne Stück
 ====== Aufgaben zu Extremwertaufgaben aus dem Buch ======
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 | Aufgabe | 192 | A3 |$a=10,95~;~b=10,95$|
 | Aufgabe | 192 | A4 |$r=0,7~;~h=0,7$|
-| Aufgabe | 192 | A5 |$x=4~;~A_{max}=8m^2$|
+| Aufgabe | 192 | A5 |$x=4~;~A_{max}=8m^2$ ACHTUNG: Fehler in der Skizze (s.u.) |
 | Aufgabe | 192 | A6 |$x\approx 3,3~;~ k(3,3) \approx 103941,13$|
 | Aufgabe | 193 | A12 |a) $C(4|\frac{8}{3})$; b) $l_1=4~\text{LE}, ~l_2=\frac{8}{3}~\text{LE}$ |
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 |  |  | A13 |d) $U_{max}=8,29~\text{LE}; U_{min}=4,76~\text{LE}$|
 /* | Aufgaben | 192ff | A5 A6 A12 A13 u.a. | *
+Korrektur Skizze: S.192 A5 (Kiosk)
+{{:lager:mathe:extremw:h2-06_cornelsen_s192_a5_korrektur.png?200|}}
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 ^ Thema ^ Seite ^ Aufgabe ^ Lösung ^
-| Extremwertberechung |  | Erklärung |
+| Extremwertberechung | 186f | Erklärung |
-| Extremwertberechung Vorgehensweise |  | Erklärung |
+| Extremwertberechung Vorgehensweise | 189 | Erklärung |
-| Aufgaben |  | A1, A2 |siehe S. |
+| Aufgaben | 190 | A1, A2 | siehe S. 423 |
-| Aufgabe |  | A1 |$a=5~;~b=5~;~d=7,07$|
+| Aufgabe | 192 | A1 |$a=5~;~b=5~;~d=7,07$|
-| Aufgabe |  | A2 |$g=40~;~a=40~;~h=34,64$|
+| Aufgabe | 192 | A2 |$g=40~;~a=40~;~h=34,64$|
-| Aufgabe |  | A3 |$a=10,95~;~b=10,95$|
+| Aufgabe | 192 | A3 |$a=10,95~;~b=10,95$|
-| Aufgabe |  | A4 |$r=0,7~;~h=0,7$|
+| Aufgabe | 192 | A4 |$r=0,7~;~h=0,7$|
-| Aufgabe |  | A5 |$x=4~;~A_{max}=8m^2$|
+| Aufgabe | 192 | A5 |$x=4~;~A_{max}=8m^2$|
-| Aufgabe |  | A6 |$x\approx 3,3~;~ k(3,3) \approx 103941,13$|
+| Aufgabe | 192 | A6 |$x\approx 3,3~;~ k(3,3) \approx 103941,13$|
-| Aufgabe |  | A12 |a) $C(4|\frac{8}{3})$; b) $l_1=4~\text{LE}, ~l_2=\frac{8}{3}~\text{LE}$ |
+| Aufgabe | 193 | A12 |a) $C(4|\frac{8}{3})$; b) $l_1=4~\text{LE}, ~l_2=\frac{8}{3}~\text{LE}$ |
-| Aufgabe |  | A13 |a) $u=1,5~;~v=2,53125$; b) $A_{max} \approx 3,8~\text{FE} $; ... |
+| Aufgabe | 193 | A13 |a) $u=1,5~;~v=2,53125$; b) $A_{max} \approx 3,8~\text{FE} $; ... |
-|  |  | A13 |c) max: $u\approx 1,15~\text{&}~v \approx 2,99$ $;$ min: $u\approx 2,38~\text{&}~v=0$; ...|
+|  | 193 | A13 |c) max: $u\approx 1,15~\text{&}~v \approx 2,99$ $;$ min: $u\approx 2,38~\text{&}~v=0$; ...|
-|  |  | A13 |d) $U_{max}=8,29~\text{LE}; U_{min}=4,76~\text{LE}$|
+|  | 193 | A13 |d) $U_{max}=8,29~\text{LE}; U_{min}=4,76~\text{LE}$|
 /* | Aufgaben | 192ff | A5 A6 A12 A13 u.a. | *