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Inhaltsverzeichnis
Extremwertaufgaben
Beispiel Dosenoptimierung
Es soll Suppe mit dem Volumen V = 800 ml in einer Dose verpackt werden. Dabei soll der Blechverbrauch minimal werden. Bestimmen Sie das optimale Verhältnis zwischen Höhe $h$ und Radius $r$ der Dose.
1. Skizze erstellen
2. Aufstellen der Hauptbedingung/Zielfunktion
Welche Größe soll hier „optimiert“ werden? Die Oberfläche! Demnach ergibt sich die Hauptbedingung zu: $A=2 \cdot \pi ~ r^2+2 \pi~r \cdot h$
3. Aufstellen der Nebenbedingung/Randbedingung
Welche weiteren Informationen enthält die Aufgabenstellung, um Unbekannte zu eliminieren? Das Volumen der Dose soll 800 ml betragen!
$\Rightarrow$ Nebenbedingung: $V=0,8~l=0,8~dm^3=\pi~ r^2 \cdot h$
$\Rightarrow$ $h=\frac{0,8~dm^3}{\pi ~r^2}$
4. Hauptfunktion/Zielfunktion mittels Nebenbedingung/Randbedingung vereinfachen
Einsetzen der Nebenbedingung in die Hauptbedingung führt zu:
$A=2 \cdot \pi ~ r^2+2 \pi~r \cdot \frac{0,8~dm^3}{\pi ~r^2} = 2 \cdot \pi ~ r^2+ \frac{1,6~dm^3}{r} = 2 \cdot \pi ~ r^2+ 1,6~dm^3 \cdot r^{-1}$
5. Extremum (Optimum) ermitteln
Notwendige Bedingung: $A'(r)=0$
$A'(r)=4 ~ \pi ~ r-\frac{1,6}{r^2}=0 \Rightarrow 4 ~ \pi \ r = \frac{1,6}{r^2} \Rightarrow r^3=\frac{1,6}{4~\pi} \Rightarrow r=\sqrt[3]{\frac{1,6}{4~ \pi}} \approx 0,5~dm $
Hinreichende Bedingung: $A''(r)\neq0$
$A'(r)=4 ~ \pi ~ r-1,6 \cdot r^{-2} \Rightarrow A''(r)=4 ~ \pi +2 \cdot 1,6 \cdot r^{-3} =4 ~ \pi +2 \frac{1,6}{r^3}$
$\Rightarrow A''(0,5)=4 ~ \pi +2 \frac{1,6}{0,5^3} \approx 38,2 >0 \Rightarrow$ Es handelt sich um ein Minimum $\checkmark$
6. Lösung ermitteln
Durch einsetzen von $r$ in die Nebenbedingung kann nun noch $h$ bestimmt werden:
$h(r)=\frac{0,8}{\pi ~r^2} \Rightarrow h(0,5)=\frac{0,8}{\pi ~0,5^2} \approx 1,02~dm $
Antwort: Bei einem Radius von $r=0,5~dm=5~cm$ und einer Höhe von $h=1,02~dm=10,2~cm$ resultiert für eine Dose mit einem Volumen von 800 ml der minimale Materialverbrauch.
Kostenoptimierung
Die Gewinnes eins Unternehmens sollen optimiert werden. Bei einer entsprechenden Analyse konnten die Kosten K als Funktion
Das Unternehmen stellt große Mengen her, daher stellt x die Menge in 10.000 Stück dar und die Kosten K sind in 10.000 € dargestellt.
Der Erlös 1) kann in Abhängigkeit der verkauften Waren x als Erlösfunktion E(x) dargestellt werden:
a) Wie viel Stück Ware sollten produziert werden, damit der Gewinn maximal wird?
b) Wie groß ist der Gesamtgewinn?
c) Wie groß ist der Erlös pro Stück?
Aufgaben zu Extremwertaufgaben aus dem Buch
Die folgenden Aufgaben sind nach Themen sortiert und können im Buch „Mathematik Technik Fachhochschulreife“ Cornelsen Verlag 1. Auflage, 1. Druck 2014 gefunden werden.
| Thema | Seite | Aufgabe | Lösung |
|---|---|---|---|
| Extremwertberechung | 186f | Erklärung | |
| Extremwertberechung Vorgehensweise | 189 | Erklärung | |
| Aufgaben | 190 | A1, A2 | siehe S. 423 |
| Aufgabe | 192 | A1 | $a=5~;~b=5~;~d=7,07$ |
| Aufgabe | 192 | A2 | In der Aufgabenstellung muss es gleichschenkliges Dreieck heißen! $g=40~;~a=40~;~h=34,64$ |
| Aufgabe | 192 | A3 | $a=10,95~;~b=10,95$ |
| Aufgabe | 192 | A4 | $r=0,7~;~h=0,7$ |
| Aufgabe | 192 | A5 | $x=4~;~A_{max}=8m^2$ |
| Aufgabe | 192 | A6 | $x\approx 3,3~;~ k(3,3) \approx 103941,13$ |
| Aufgabe | 193 | A12 | a) $C(4|\frac{8}{3})$; b) $l_1=4~\text{LE}, ~l_2=\frac{8}{3}~\text{LE}$ |
| Aufgabe | 193 | A13 | a) $u=1,5~;~v=2,53125$; b) $A_{max} \approx 3,8~\text{FE} $; … |
| A13 | c) max: $u\approx 1,15~\text{&}~v \approx 2,99$ $;$ min: $u\approx 2,38~\text{&}~v=0$; … | ||
| A13 | d) $U_{max}=8,29~\text{LE}; U_{min}=4,76~\text{LE}$ |
Für „Mathematik Technik Fachhochschulreife“ Cornelsen Verlag 1. Auflage, 2. Druck 2015 gilt:
| Thema | Seite | Aufgabe | Lösung |
|---|---|---|---|
| Extremwertberechung | Erklärung | ||
| Extremwertberechung Vorgehensweise | Erklärung | ||
| Aufgaben | A1, A2 | siehe S. | |
| Aufgabe | A1 | $a=5~;~b=5~;~d=7,07$ | |
| Aufgabe | A2 | $g=40~;~a=40~;~h=34,64$ | |
| Aufgabe | A3 | $a=10,95~;~b=10,95$ | |
| Aufgabe | A4 | $r=0,7~;~h=0,7$ | |
| Aufgabe | A5 | $x=4~;~A_{max}=8m^2$ | |
| Aufgabe | A6 | $x\approx 3,3~;~ k(3,3) \approx 103941,13$ | |
| Aufgabe | A12 | a) $C(4|\frac{8}{3})$; b) $l_1=4~\text{LE}, ~l_2=\frac{8}{3}~\text{LE}$ | |
| Aufgabe | A13 | a) $u=1,5~;~v=2,53125$; b) $A_{max} \approx 3,8~\text{FE} $; … | |
| A13 | c) max: $u\approx 1,15~\text{&}~v \approx 2,99$ $;$ min: $u\approx 2,38~\text{&}~v=0$; … | ||
| A13 | d) $U_{max}=8,29~\text{LE}; U_{min}=4,76~\text{LE}$ |
Weitere Extremwertaufgaben
Weitere Aufgaben Pfeffer 7. Auflage S. 226!