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--- lager:mathe:integral:stammfunkt [24.04.2013 19:56] – richard
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-===== Aufgaben zu Stammfunktionen =====
+====== Integralrechnung ======
-. Bestimmen Sie die Stammfunktionen zu den gegebenen Funktionen.
+===== Definition Integral =====
-a) {{:lager:mathe:bilder:integral_aufgabe_1a_13-04-24.png?200|}}
+Die **Integration** ist die **Umkehrung der Differentation** (Ableitung). Zu einer gegebenen reellen Funktion $f(x)$ wird die differenzierter reelle **Stammfunktion $F(x)$** als $F'(x)=f(x)$ angegeben.
-b) {{:lager:mathe:bilder:integral_aufgabe_1b_13-04-24.png?200|}}
+Formal dieser Zusammenhang wie folgt beschrieben:
+$\int{f(x) \cdot dx} = F(x)$
+sprich: **''%%Integral von f von x dx = groß F von x%%''**
+===== Zusammenhang zwischen Differentiation und Integration =====
+Die Begriffe Integral, Stammfunktion und Ableitung hängen eng miteinander zusammen. In der Differentialrechnung wird die Ableitung genutzt, um von einer gegebenen Funktion $f(x)$ (der Stammfunktion) die Steigung an einer beliebigen Stelle x zu ermitteln.
+In der Integralrechnung wird ebenfalls von der $f(x)$ ausgegangen. Durch die Integration wird eine neue Funktion $F(x)$ (die Stammfunktion bezogen auf $f(x)$) bestimmt, die die von $f$ und der x-Achse eingeschlossenen Fläche zwischen zwei Stellen x1 und x2 angibt.
+^Symbolik         ^Schreibweise  ^Funktionsname      ^Operation        ^Bedeutung          ^
+|$\int$           |F()           |Stammfunktion      |Integration      |Flächenfunktion    |
+|                 |f(x)          |gegebene Funktion  |                 |                   |
+|$\frac{df}{dx}$  |f'(x)         |Ableitung          |Differentiation  |Steigungsfunktion  |
+===== Integrationsregeln =====
+==== Potenzregel ====
+$\int{x^n \cdot dx} = \frac{1}{n+1} \cdot x^{n+1} + C$\\
+mit $n \in \mathbb{N}$, $C \in \mathbb{R}$ und $C$ als Integrationskonstante
+==== Faktorregel ====
+$\int{k \cdot x^n \cdot dx} = k \cdot \int{ x^n \cdot dx} =\frac{k}{n+1} \cdot x^{n+1} + C$
+mit $n \in \mathbb{N}$, $k, C \in \mathbb{R}$ und $C$ als Integrationskonstante
+==== Konstantenregel ====
+$\int{k \cdot dx} = k \cdot \int{ x^0 \cdot dx} =\frac{k} \cdot x^{1} + C$
+mit $n \in \mathbb{N}$, $k,C \in \mathbb{R}$ und $C$ als Integrationskonstante
+==== Summenregel ====
+$\int{\left( f(x) + g(x) \right) \cdot dx} = \int{ f(x) \cdot dx} + \int{ g(x) \cdot dx} =F(x) + G(x) + C$
+mit $f(x), g(x)$ als zwei stetig integrierbare Funktionen. $C \in \mathbb{R}$ als Integrationskonstante
+====== Beispiele ======
+$f(x) = 2 x^2 + 3 x$
+$f'(x)= 4 x + 3$
+An der Stelle x = 2 wäre demnach die Steigung von $f(x)$ :
+$f'(2) = 2 \cdot 2 + 3 = 7$
+$f(x) = 2 x^2 + 3 x$
+Dann lautet die Stammfunktion von $f(x)$: $F(x) = \frac{2}{3} \cdot x^3 + \frac{3}{2} \cdot x^2 + C$
+Man kann also folgenden Zusammenhang festhalten: $F'(x) = f(x)$
+Denn es gilt: $F'(x) = \frac{2}{3} \cdot 3 x^{(3-1)} + \frac{3}{2} \cdot 2 x^{(2-1)} = 2 x^2 + 3 x$
+----
+⇒ **Weitere Informationen** zum oben beschriebenen Thema finden Sie hier:
+^ Buch ^ Verlag ^ Auflage ^ Druck ^ Seiten ^
+| Mathematik Technik Fachhochschulreife | Cornelsen | 1. Auflage | **1. Druck 2014** | 209 - 211 |
+| Mathematik Technik Fachhochschulreife | Cornelsen | 1. Auflage | **2. Druck 2015** |  |
-c) {{:lager:mathe:bilder:integral_aufgabe_1c_13-04-24.png?200|}}
-d) {{:lager:mathe:bilder:integral_aufgabe_1d_13-04-24.png?200|}}