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--- lager:mathe:start:binom_formel [25.08.2013 17:27] – angelegt richard
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-====== Faktorisieren ======
+~~DISCUSSION|Ergänzungen~~
-===== Erklärung =====
+Die Darstellung der Formeln ist nicht optimal, daher kann hier ein **{{:lager:mathe:start:h1-00_binomische_formeln_14-09-16.pdf|PDF heruntergeladen}}** werden. Die Aufgaben enthalten alle Varianten:
-Unter Faktorisieren versteht man das Ausklammern von gemeinsamen Faktoren. Eine ganze Zahl kann immer in einem Produkt aus mehreren Faktoren dargestellt werden.
+  * Binomische Formeln anwenden (Ausklammern)
+  * Binomische Formeln umkehren (Zusammenfassen)
+  * Binomische Formeln ergänzen (teilweise Zusammenfassen)
-Beispiel: <m>24 = 2 * 2 * 2 * 3</m>
+====== Binomische Formeln ======
-===== Übungsaufgaben =====
+Hinweis zu den Herleitungen:
+Bei den Herleitungen wird jeweils schrittweise ausgeklammert und anschließend werden die gleichen Terme zusammengefasst.
+===== 1. Binomische Formel =====
+<m> (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 </m>
+Herleitung: <m> (a + b)^2 = (a + b) (a + b) = a a + a b + b a + b b = a^2 + 2 ab + b^2 </m>
+Erklärung: Zunächst wird die Potenz ² als Produkt der Klammer aufgelöst. Im Anschluss wird die erste Variable der vorderen Klammer mit allen Variablen der hinteren Klammer multipliziert und mit dem entsprechenden Vorzeichen (hier immer +) aufaddiert (a * a + a * b). Das Gleiche wird mit der zweiten Variable der ersten Klammer und allen Variablen der hinteren Klammer getan (b * a + b * b). Nun kann zusammen gefasst (a * b + b * a = 2 a * b) bzw. vereinfacht (a a = a^2  bzw.  b * b = b^2)werden.
+===== 2. Binomische Formel =====
+<m> (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 </m>
+Herleitung: <m> (a - b)^2 = (a - b) (a - b) = a a - a b - b a + b b = a^2 - 2 ab + b^2 </m>
+Erklärung: Die Vorgehensweise ist dieselbe wie bei der ersten Binomischen Formel. Allerdings ist auf das Vorzeichen der Variablen zu achten.
+===== 3. Binomische Formel =====
+<m> a^2 - b^2 = (a - b) (a + b) </m>
+Herleitung: <m> (a - b) (a + b) = a a + a b - b a - b b = a^2 - b^2 </m>
+Erklärung: Die Vorgehensweise ist dieselbe wie bei den ersten beiden Binomischen Formel. Die beiden mittleren Terme heben sich gegenseitig auf, so dass die beiden quadratischen Terme übrig bleiben.
+===== Übungsaufgaben Binomische Formeln =====
+Vereinfachen Sie die Ausdrücke, indem Sie die binomischen Formeln anwenden:
+^ **Aufgabe** ^ **Ergebnis** ^
+| **Aufgabe 1** ||
+| a) <m> a^2 -25 =  </m>| |
+| b) <m> m^2 -1 =  </m>| |
+| c) <m> 1 - p^2 =  </m>| |
+| **Aufgabe 2** ||
+| a) <m> 9a^2 -4b^2 =  </m>| |
+| b) <m> 49p^2-64q^2 =  </m>| |
+| c) <m> u^2v^2 - 1 =  </m>| |
+| **Aufgabe 3** ||
+| a) <m> a^2 -a^4 =  </m>| |
+| b) <m> -9b^4 + 4a^2 =  </m>| |
+| c) <m> x^4 y^4 - z^4 =  </m>| |
+| **Aufgabe 4** ||
+| a) <m> a^2 + 10 a + 25 =  </m>| |
+| b) <m> y^2- 2 y + 1 =  </m>| |
+| **Aufgabe 5** ||
+| a) <m> 9 - 24 b + 16 b^2 =  </m>| |
+| b) <m> x^2 + 10 x + 16 =  </m>| |
+| **Aufgabe 6** ||
+| a) <m> 4a^2 - 10 a x + 9 x^2 =  </m>| |
+| b) <m> 120a^2b + 144 a^2 + 25a^2 b^2 =  </m>| |
+| **Aufgabe 7** ||
+| a) <m> 9a^4 - 12 a^2 + 4 =  </m>| |
+| b) <m> 3x^2 + 52 x + 147 =  </m>| |
+| **Aufgabe 8** ||
+| a) <m> a^2 + 8a + 15 =  </m>| |
+| b) <m> b^2 -7 b + 10 =  </m>| |
+| **Aufgabe 9** ||
+| a) <m> q^2 - 8q -9 =  </m>| |
+| b) <m> m^2 + 5 mn - 24 n^2 =  </m>| |
+| **Aufgabe 10** ||
+| a) <m> 14 m^2 - 9mn + n^2 =  </m>| |
+| b) <m> 2x^2z + 6xyz - 8 y^2 z =  </m>| |
-Faktorisieren Sie so weit wie möglich:((Urheber aller Aufgaben: U. Niedermeyer))
-^ Aufgabe ^ Ergebnis ^
-| 8a-12b = | |
-====== Binomische Formeln ======