lager:mathe:start:binom_formel
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lager:mathe:start:binom_formel [25.08.2013 17:56] – richard | lager:mathe:start:binom_formel [05.07.2018 10:04] – Externe Bearbeitung 127.0.0.1 | ||
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- | ====== Faktorisieren ====== | + | ~~DISCUSSION|Ergänzungen~~ |
- | ===== Erklärung ===== | + | Die Darstellung der Formeln ist nicht optimal, daher kann hier ein **{{: |
- | Unter Faktorisieren versteht man das Ausklammern von gemeinsamen Faktoren. Eine ganze Zahl kann immer in einem Produkt aus mehreren Faktoren dargestellt | + | * Binomische Formeln anwenden (Ausklammern) |
+ | * Binomische Formeln umkehren (Zusammenfassen) | ||
+ | * Binomische Formeln ergänzen (teilweise Zusammenfassen) | ||
- | Beispiel: <m> 24 = 2 * 2 * 2 * 3 </m> | + | ====== Binomische Formeln ====== |
- | Dabei sind die Faktor 2 und 3 nur noch durch 1 und sich selbst teilbar. Sie werden | + | Hinweis zu den Herleitungen: |
- | Möchte man einen Term faktorisieren sucht man von allen Zahlen | + | Bei den Herleitungen wird jeweils schrittweise ausgeklammert |
- | Beispiel: <m> 24 x + 15 y = </m> | + | ===== 1. Binomische Formel ===== |
- | < | + | < |
- | < | + | Herleitung: |
- | In 24 und 15 kommt die 3 vor, diese kann demnach ausgeklammert werden. | + | Erklärung: Zunächst wird die Potenz ² als Produkt der Klammer aufgelöst. Im Anschluss wird die erste Variable der vorderen Klammer mit allen Variablen der hinteren Klammer multipliziert und mit dem entsprechenden Vorzeichen (hier immer +) aufaddiert (a * a + a * b). Das Gleiche wird mit der zweiten Variable der ersten Klammer und allen Variablen der hinteren Klammer getan (b * a + b * b). Nun kann zusammen gefasst (a * b + b * a = 2 a * b) bzw. vereinfacht (a a = a^2 |
- | Bei 24 bleibt noch <m> 2 * 2 * 2 = 8 </m> übrig und bei 15 nur noch die 5 selbst. | + | |
- | Also: <m> 24 x + 15 y = 3 (8 x + 5 y) </m> | + | ===== 2. Binomische Formel ===== |
- | Wenn nur Variablen vorkommen, so können auch hier die gemeinsamen Faktoren | + | < |
- | Beispiel: <m> a^2 b^4 + 3 b^3 = </m> | + | Herleitung: < |
- | <m> a^2 b^4 = a*a * b*b*b*b | + | Erklärung: Die Vorgehensweise ist dieselbe wie bei der ersten Binomischen Formel. Allerdings ist auf das Vorzeichen der Variablen zu achten. |
- | <m> 3 b^3 = 3 * b*b*b </m> | + | ===== 3. Binomische Formel ===== |
- | Der Faktor | + | < |
- | <m> a^2 b^4 + 3 b^4 = b^3 ( a^2 b + 3) </m> | + | Herleitung: |
- | ===== Übungsaufgaben ===== | + | Erklärung: Die Vorgehensweise ist dieselbe wie bei den ersten beiden Binomischen Formel. Die beiden mittleren Terme heben sich gegenseitig auf, so dass die beiden quadratischen Terme übrig bleiben. |
+ | ===== Übungsaufgaben | ||
- | Faktorisieren | + | Vereinfachen |
^ **Aufgabe** ^ **Ergebnis** ^ | ^ **Aufgabe** ^ **Ergebnis** ^ | ||
| **Aufgabe 1** || | | **Aufgabe 1** || | ||
- | | a) < | + | | a) < |
- | | b) < | + | | b) < |
- | | c) < | + | | c) < |
| **Aufgabe 2** || | | **Aufgabe 2** || | ||
- | | a) < | + | | a) < |
- | | b) < | + | | b) < |
- | | c) < | + | | c) < |
| **Aufgabe 3** || | | **Aufgabe 3** || | ||
- | | a) < | + | | a) < |
- | | b) < | + | | b) <m> -9b^4 + 4a^2 = </m>| | |
- | | c) < | + | | c) < |
| **Aufgabe 4** || | | **Aufgabe 4** || | ||
- | | a) < | + | | a) < |
- | | b) < | + | | b) < |
- | | c) <m> 20y - 28y^2 = </m>| | | + | |
| **Aufgabe 5** || | | **Aufgabe 5** || | ||
- | | a) < | + | | a) < |
- | | b) < | + | | b) <m> x^2 + 10 x + 16 = </m>| | |
+ | | **Aufgabe 6** || | ||
+ | | a) <m> 4a^2 - 10 a x + 9 x^2 = </m>| | | ||
+ | | b) <m> 120a^2b + 144 a^2 + 25a^2 b^2 = </m>| | | ||
+ | | **Aufgabe 7** || | ||
+ | | a) <m> 9a^4 - 12 a^2 + 4 = </m>| | | ||
+ | | b) < | ||
+ | | **Aufgabe 8** || | ||
+ | | a) <m> a^2 + 8a + 15 = </m>| | | ||
+ | | b) <m> b^2 -7 b + 10 = </m>| | | ||
+ | | **Aufgabe 9** || | ||
+ | | a) <m> q^2 - 8q -9 = </m>| | | ||
+ | | b) <m> m^2 + 5 mn - 24 n^2 = </m>| | | ||
+ | | **Aufgabe 10** || | ||
+ | | a) <m> 14 m^2 - 9mn + n^2 = </m>| | | ||
+ | | b) <m> 2x^2z + 6xyz - 8 y^2 z = </m>| | | ||
+ | |||
- | ====== Binomische Formeln ====== |
lager/mathe/start/binom_formel.txt · Zuletzt geändert: 04.03.2023 17:19 von richard