Benutzer-Werkzeuge

Webseiten-Werkzeuge


lager:mathe:start:binom_formel

Unterschiede

Hier werden die Unterschiede zwischen zwei Versionen angezeigt.

Link zu dieser Vergleichsansicht

Nächste Überarbeitung
Vorhergehende Überarbeitung
lager:mathe:start:binom_formel [25.08.2013 17:27]
richard angelegt
lager:mathe:start:binom_formel [05.07.2018 10:04] (aktuell)
Zeile 1: Zeile 1:
-====== Faktorisieren ======+~~DISCUSSION|Ergänzungen~~
  
-===== Erklärung ===== +Die Darstellung der Formeln ist nicht optimal, daher kann hier ein **{{:​lager:​mathe:​start:​h1-00_binomische_formeln_14-09-16.pdf|PDF heruntergeladen}}** ​werden. ​Die Aufgaben enthalten alle Varianten:​ 
-Unter Faktorisieren versteht man das Ausklammern von gemeinsamen Faktoren. Eine ganze Zahl kann immer in einem Produkt aus mehreren Faktoren dargestellt ​werden.+  * Binomische Formeln anwenden (Ausklammern) 
 +  * Binomische Formeln umkehren (Zusammenfassen) 
 +  * Binomische Formeln ergänzen (teilweise Zusammenfassen)
  
-Beispiel: <​m>​24 ​2 * 2 * 2 * 3</m>+====== Binomische Formeln ======
  
-===== Übungsaufgaben ===== +Hinweis zu den Herleitungen:​  
 +Bei den Herleitungen wird jeweils schrittweise ausgeklammert und anschließend werden die gleichen Terme zusammengefasst. 
 + 
 +===== 1. Binomische Formel ===== 
 + 
 +<m> (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 </​m>​ 
 + 
 +Herleitung: <m> (a + b)^2 = (a + b) (a + b) = a a + a b + b a + b b = a^2 + 2 ab + b^2 </​m>​ 
 + 
 +Erklärung: Zunächst wird die Potenz ² als Produkt der Klammer aufgelöst. Im Anschluss wird die erste Variable der vorderen Klammer mit allen Variablen der hinteren Klammer multipliziert und mit dem entsprechenden Vorzeichen (hier immer +) aufaddiert (a * a + a * b). Das Gleiche wird mit der zweiten Variable der ersten Klammer und allen Variablen der hinteren Klammer getan (b * a + b * b). Nun kann zusammen gefasst (a * b + b * a = 2 a * b) bzw. vereinfacht (a a = a^2  bzw.  b * b = b^2)werden. 
 + 
 +===== 2. Binomische Formel ===== 
 + 
 +<m> (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 </​m>​ 
 + 
 +Herleitung: <m> (a - b)^2 = (a - b) (a - b) = a a - a b - b a + b b = a^2 - 2 ab + b^2 </​m>​ 
 + 
 +Erklärung: Die Vorgehensweise ist dieselbe wie bei der ersten Binomischen Formel. Allerdings ist auf das Vorzeichen der Variablen zu achten. 
 + 
 +===== 3. Binomische Formel ===== 
 + 
 +<m> a^2 - b^2 = (a - b) (a + b) </​m>​ 
 + 
 +Herleitung: <m> (a - b) (a + b) = a a + a b - b a - b b = a^2 - b^2 </​m>​ 
 + 
 +Erklärung: Die Vorgehensweise ist dieselbe wie bei den ersten beiden Binomischen Formel. Die beiden mittleren Terme heben sich gegenseitig auf, so dass die beiden quadratischen Terme übrig bleiben. 
 +===== Übungsaufgaben ​Binomische Formeln =====  
 + 
 +Vereinfachen Sie die Ausdrücke, indem Sie die binomischen Formeln anwenden: 
 +^ **Aufgabe** ^ **Ergebnis** ^ 
 +| **Aufgabe 1** || 
 +| a) <m> a^2 -25 =  </m>| | 
 +| b) <m> m^2 -1 =  </m>| | 
 +| c) <m> 1 - p^2 =  </m>| | 
 +| **Aufgabe 2** || 
 +| a) <m> 9a^2 -4b^2 =  </m>| | 
 +| b) <m> 49p^2-64q^2 =  </m>| | 
 +| c) <m> u^2v^2 - 1 =  </m>| | 
 +| **Aufgabe 3** || 
 +| a) <m> a^2 -a^4 =  </m>| | 
 +| b) <m> -9b^4 + 4a^2 =  </m>| | 
 +| c) <m> x^4 y^4 - z^4 =  </m>| | 
 +| **Aufgabe 4** || 
 +| a) <m> a^2 + 10 a + 25 =  </m>| | 
 +| b) <m> y^2- 2 y + 1 =  </m>| | 
 +| **Aufgabe 5** || 
 +| a) <m> 9 - 24 b + 16 b^2 =  </m>| | 
 +| b) <m> x^2 + 10 x + 16 =  </m>| | 
 +| **Aufgabe 6** || 
 +| a) <m> 4a^2 - 10 a x + 9 x^2 =  </m>| | 
 +| b) <m> 120a^2b + 144 a^2 + 25a^2 b^2 =  </m>| | 
 +| **Aufgabe 7** || 
 +| a) <m> 9a^4 - 12 a^2 + 4 =  </m>| | 
 +| b) <m> 3x^2 + 52 x + 147 =  </m>| | 
 +| **Aufgabe 8** || 
 +| a) <m> a^2 + 8a + 15 =  </m>| | 
 +| b) <m> b^2 -7 b + 10  </​m>​| | 
 +| **Aufgabe 9** || 
 +| a) <m> q^2 - 8q -9  </​m>​| | 
 +| b) <m> m^2 + 5 mn - 24 n^2  </​m>​| | 
 +| **Aufgabe 10** || 
 +| a) <m> 14 m^2 - 9mn + n^2  </​m>​| | 
 +| b) <m> 2x^2z + 6xyz - 8 y^2 z  </​m>​| |
  
-Faktorisieren Sie so weit wie möglich:​((Urheber aller Aufgaben: U. Niedermeyer)) 
-^ Aufgabe ^ Ergebnis ^ 
-| 8a-12b = | | 
  
  
-====== Binomische Formeln ====== 
lager/mathe/start/binom_formel.1377444440.txt.gz · Zuletzt geändert: 05.07.2018 10:04 (Externe Bearbeitung)