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lager:mathe:start:binom_formel

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lager:mathe:start:binom_formel [25.08.2013 17:56]
richard
lager:mathe:start:binom_formel [05.07.2018 10:04] (aktuell)
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-====== Faktorisieren ======+~~DISCUSSION|Ergänzungen~~
  
-===== Erklärung ===== +Die Darstellung der Formeln ist nicht optimal, daher kann hier ein **{{:​lager:​mathe:​start:​h1-00_binomische_formeln_14-09-16.pdf|PDF heruntergeladen}}** ​werden. ​Die Aufgaben enthalten alle Varianten:​ 
-Unter Faktorisieren versteht man das Ausklammern von gemeinsamen Faktoren. Eine ganze Zahl kann immer in einem Produkt aus mehreren Faktoren dargestellt ​werden.+  * Binomische Formeln anwenden (Ausklammern) 
 +  * Binomische Formeln umkehren (Zusammenfassen) 
 +  * Binomische Formeln ergänzen (teilweise Zusammenfassen)
  
-Beispiel: <m> 24 2 * 2 * 2 * 3 </m>+====== Binomische Formeln ======
  
-Dabei sind die Faktor 2 und 3 nur noch durch 1 und sich selbst teilbar. Sie werden ​auch **Primzahlen** genannt. +Hinweis zu den Herleitungen:​  
-Möchte man einen Term faktorisieren sucht man von allen Zahlen ​die gemeinsamen Primzahlen und bildet daraus den Faktor, den man ausklammern kann.+Bei den Herleitungen wird jeweils schrittweise ausgeklammert ​und anschließend ​werden die gleichen Terme zusammengefasst.
  
-Beispiel: <m> 24 x + 15 y </m>+===== 1. Binomische Formel =====
  
-<​m> ​24 = * 3 </m>+<​m> ​(a + b)^= a^+ 2ab + b^2 </m>
  
-<​m> ​15 3 * 5 </m>+Herleitung: ​<​m> ​(a + b)^2 (a + b) (a + b) = a a + a b + b a + b b = a^2 + 2 ab + b^2 </m>
  
-In 24 und 15 kommt die 3 vor, diese kann demnach ausgeklammert werden. +Erklärung: Zunächst wird die Potenz ² als Produkt der Klammer aufgelöstIm Anschluss wird die erste Variable der vorderen Klammer mit allen Variablen der hinteren Klammer multipliziert und mit dem entsprechenden Vorzeichen (hier immer +) aufaddiert (a a + a * b). Das Gleiche wird mit der zweiten Variable der ersten Klammer und allen Variablen der hinteren Klammer getan (b * a + b * b). Nun kann zusammen gefasst (a * b + b * a = b) bzw. vereinfacht (a a = a^ ​bzw. ​ b * b b^2)werden.
-Bei 24 bleibt noch <m> 2 * 2 * 2 = 8 </m> übrig und bei 15 nur noch die 5 selbst.+
  
-Also: <m> 24 x + 15 y 3  (8 x + 5 y) </m>+===== 2. Binomische Formel =====
  
-Wenn nur Variablen vorkommen, so können auch hier die gemeinsamen Faktoren ​(in dem Fall Variablenausgeklammert werden.+<​m> ​(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 </m>
  
-Beispiel: <m> a^2 b^b^3 = </m>+Herleitung: <​m> ​(- b)^2 = (a - b) (a - b) = a a - a b - b a + b b = a^2 - 2 ab + b^</m>
  
-<m> a^2 b^4 = a*a * b*b*b*b ​ </m>+Erklärung: Die Vorgehensweise ist dieselbe wie bei der ersten Binomischen Formel. Allerdings ist auf das Vorzeichen der Variablen zu achten.
  
-<m> 3 b^3 = 3 * b*b*b  </m>+===== 3. Binomische Formel =====
  
-Der Faktor ​<m> b b </​m> ​ist in beiden Termen enthalten und kann somit ausgeklammert werden.+<​m> ​a^2 - b^2 = (a - b) (a + b</m>
  
-<m> a^2 b^4 b^4 = b^3 ( a^2 b + 3) </m>+Herleitung: ​<​m> ​(b) (a + ba a + a - b a - b b = a^2 b^2 </m>
  
-===== Übungsaufgaben ===== +Erklärung: Die Vorgehensweise ist dieselbe wie bei den ersten beiden Binomischen Formel. Die beiden mittleren Terme heben sich gegenseitig auf, so dass die beiden quadratischen Terme übrig bleiben. 
 +===== Übungsaufgaben ​Binomische Formeln ​===== 
  
-Faktorisieren ​Sie so weit wie möglich:​((Urheber aller AufgabenU. Niedermeyer))+Vereinfachen ​Sie die Ausdrücke, indem Sie die binomischen Formeln anwenden:
 ^ **Aufgabe** ^ **Ergebnis** ^ ^ **Aufgabe** ^ **Ergebnis** ^
 | **Aufgabe 1** || | **Aufgabe 1** ||
-| a) <​m> ​8a-12b =  </m>| | +| a) <​m> ​a^2 -25 =  </m>| | 
-| b) <​m> ​15m 9n =  </m>| | +| b) <​m> ​m^2 -=  </m>| | 
-| c) <​m> ​22x 11 =  </m>| |+| c) <​m> ​p^2 =  </m>| |
 | **Aufgabe 2** || | **Aufgabe 2** ||
-| a) <​m> ​ab ac =  </m>| | +| a) <​m> ​9a^2 -4b^2 =  </m>| | 
-| b) <​m> ​pq qr =  </m>| | +| b) <​m> ​49p^2-64q^2 =  </m>| | 
-| c) <​m> ​y^2 - xy =  </m>| |+| c) <​m> ​u^2v^2 - =  </m>| |
 | **Aufgabe 3** || | **Aufgabe 3** ||
-| a) <​m> ​15ab 25a =  </m>| | +| a) <​m> ​a^2 -a^4 =  </m>| | 
-| b) <​m> ​27pq 36p =  </m>| | +| b) <m> -9b^4 + 4a^2 =  </m>| | 
-| c) <​m> ​21xy 7y =  </m>| |+| c) <​m> ​x^4 y^4 z^4 =  </m>| |
 | **Aufgabe 4** || | **Aufgabe 4** ||
-| a) <​m> ​21a^2 - 24a =  </m>| | +| a) <​m> ​a^2 + 10 a + 25 =  </m>| | 
-| b) <​m> ​45x^2 - 36x =  </m>| | +| b) <​m> ​y^2- 2 y + 1 =  </m>| |
-| c) <m> 20y - 28y^2 =  </m>| |+
 | **Aufgabe 5** || | **Aufgabe 5** ||
-| a) <​m> ​16a^2b - 24ab^2 =  </m>| | +| a) <​m> ​9 - 24 b + 16 b^2 =  </m>| | 
-| b) <​m> ​42x^2y^2 - 49xy =  </m>| |+| b) <m> x^2 + 10 x + 16 =  </m>| | 
 +| **Aufgabe 6** || 
 +| a) <m> 4a^2 - 10 a x + 9 x^2 =  </m>| | 
 +| b) <m> 120a^2b + 144 a^2 + 25a^2 b^2 =  </m>| | 
 +| **Aufgabe 7** || 
 +| a) <m> 9a^4 12 a^2 + 4 =  </m>| | 
 +| b) <​m> ​3x^2 + 52 x + 147 =  </m>| | 
 +| **Aufgabe 8** || 
 +| a) <m> a^2 + 8a + 15 =  </m>| | 
 +| b) <m> b^2 -7 b + 10 =  </m>| | 
 +| **Aufgabe 9** || 
 +| a) <m> q^2 - 8q -9 =  </m>| | 
 +| b) <m> m^2 + 5 mn - 24 n^2 =  </m>| | 
 +| **Aufgabe 10** || 
 +| a) <m> 14 m^2 - 9mn + n^2 =  </m>| | 
 +| b) <m> 2x^2z + 6xyz - 8 y^2 z =  </m>| | 
 + 
  
-====== Binomische Formeln ====== 
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