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lager:mathe:start:binom_formel

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lager:mathe:start:binom_formel [25.08.2013 18:19]
richard
lager:mathe:start:binom_formel [05.07.2018 10:04] (aktuell)
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-====== Faktorisieren ====== +~~DISCUSSION|Ergänzungen~~
- +
-===== Erklärung ===== +
-Unter Faktorisieren versteht man das Ausklammern von gemeinsamen Faktoren. Eine ganze Zahl kann immer in einem Produkt aus mehreren Faktoren dargestellt werden. +
- +
-Beispiel: <m> 24 = 2 * 2 * 2 * 3 </​m>​ +
- +
-Dabei sind die Faktor 2 und 3 nur noch durch 1 und sich selbst teilbar. Sie werden auch **Primzahlen** genannt. +
-Möchte man einen Term faktorisieren sucht man von allen Zahlen die gemeinsamen Primzahlen und bildet daraus den Faktor, den man ausklammern kann. +
- +
-Beispiel: <m> 24 x + 15 y = </​m>​ +
- +
-<m> 24 = 2 * 2 * 2 * 3 </​m>​ +
- +
-<m> 15 = 3 * 5 </​m>​ +
- +
-In 24 und 15 kommt die 3 vor, diese kann demnach ausgeklammert werden. +
-Bei 24 bleibt noch <m> 2 * 2 * 2 = 8 </m> übrig und bei 15 nur noch die 5 selbst. +
- +
-Also: <m> 24 x + 15 y = 3  (8 x + 5 y) </​m>​ +
- +
-Wenn nur Variablen vorkommen, so können auch hier die gemeinsamen Faktoren (in dem Fall Variablen) ausgeklammert werden. +
- +
-Beispiel: <m> a^2 b^4 + 3 b^3 = </​m>​ +
- +
-<m> a^2 b^4 = a*a * b*b*b*b ​ </​m>​ +
- +
-<m> 3 b^3 = 3 * b*b*b  </​m>​ +
- +
-Der Faktor <m> b * b * b </m> ist in beiden Termen enthalten und kann somit ausgeklammert werden. +
- +
-<m> a^2 b^4 + 3 b^4 = b^3 ( a^2 b + 3) </​m>​ +
- +
-===== Übungsaufgaben Faktorisieren =====  +
- +
-Faktorisieren Sie so weit wie möglich:​((Urheber aller Aufgaben: U. Niedermeyer)) +
-^ **Aufgabe** ^ **Ergebnis** ^ +
-**Aufgabe 1** || +
-| a) <m> 8a-12b =  </m>| | +
-| b) <m> 15m - 9n =  </m>| | +
-| c) <m> 22x - 11 =  </m>| | +
-| **Aufgabe 2** || +
-| a) <m> ab - ac =  </m>| | +
-| b) <m> pq + qr =  </m>| | +
-| c) <m> y^2 - xy =  </m>| | +
-| **Aufgabe 3** || +
-| a) <m> 15ab - 25a =  </m>| | +
-| b) <m> 27pq + 36p =  </m>| | +
-| c) <m> 21xy - 7y =  </m>| | +
-| **Aufgabe 4** || +
-| a) <m> 21a^2 - 24a =  </m>| | +
-| b) <m> 45x^2 - 36x =  </m>| | +
-| c) <m> 20y + 28y^2 =  </m>| | +
-| **Aufgabe 5** || +
-| a) <m> 16a^2b - 24ab^2 =  </m>| | +
-| b) <m> 42x^2y^2 - 49xy =  </m>| | +
-| **Aufgabe 6** || +
-| a) <m> 18ax -12 ay +24 az =  </m>| | +
-| b) <m> 14 xy^2 -21 x^2y + 7xy =  </m>| | +
-| **Aufgabe 7** || +
-| a) <m> a (p+q) + b (p + q) =  </m>| | +
-| b) <m> m (x+y) - n (x+y) =  </m>| | +
-| **Aufgabe 8** || +
-| a) <m> a(c-d) + (c-d) =  </m>| | +
-| b) <m> p (r+s)-u(-r-s) =  </m>| | +
-| **Aufgabe 9** || +
-| a) <m> (m-n) - m+n =  </m>| | +
-| b) <m> pr + qr + ps + qs =  </m>| | +
-| **Aufgabe 10** || +
-| a) <m> 3ac + 6bc + ad + 2bd =  </m>| | +
-| b) <m> a^3 + ab - 2a^2 - 2b =  </m>| | +
- +
  
 +Die Darstellung der Formeln ist nicht optimal, daher kann hier ein **{{:​lager:​mathe:​start:​h1-00_binomische_formeln_14-09-16.pdf|PDF heruntergeladen}}** werden. Die Aufgaben enthalten alle Varianten:
 +  * Binomische Formeln anwenden (Ausklammern)
 +  * Binomische Formeln umkehren (Zusammenfassen)
 +  * Binomische Formeln ergänzen (teilweise Zusammenfassen)
  
 ====== Binomische Formeln ====== ====== Binomische Formeln ======
Zeile 85: Zeile 17:
 Herleitung: <m> (a + b)^2 = (a + b) (a + b) = a a + a b + b a + b b = a^2 + 2 ab + b^2 </m> Herleitung: <m> (a + b)^2 = (a + b) (a + b) = a a + a b + b a + b b = a^2 + 2 ab + b^2 </m>
  
 +Erklärung: Zunächst wird die Potenz ² als Produkt der Klammer aufgelöst. Im Anschluss wird die erste Variable der vorderen Klammer mit allen Variablen der hinteren Klammer multipliziert und mit dem entsprechenden Vorzeichen (hier immer +) aufaddiert (a * a + a * b). Das Gleiche wird mit der zweiten Variable der ersten Klammer und allen Variablen der hinteren Klammer getan (b * a + b * b). Nun kann zusammen gefasst (a * b + b * a = 2 a * b) bzw. vereinfacht (a a = a^2  bzw.  b * b = b^2)werden.
  
 ===== 2. Binomische Formel ===== ===== 2. Binomische Formel =====
Zeile 92: Zeile 24:
  
 Herleitung: <m> (a - b)^2 = (a - b) (a - b) = a a - a b - b a + b b = a^2 - 2 ab + b^2 </m> Herleitung: <m> (a - b)^2 = (a - b) (a - b) = a a - a b - b a + b b = a^2 - 2 ab + b^2 </m>
 +
 +Erklärung: Die Vorgehensweise ist dieselbe wie bei der ersten Binomischen Formel. Allerdings ist auf das Vorzeichen der Variablen zu achten.
  
 ===== 3. Binomische Formel ===== ===== 3. Binomische Formel =====
Zeile 99: Zeile 33:
 Herleitung: <m> (a - b) (a + b) = a a + a b - b a - b b = a^2 - b^2 </m> Herleitung: <m> (a - b) (a + b) = a a + a b - b a - b b = a^2 - b^2 </m>
  
 +Erklärung: Die Vorgehensweise ist dieselbe wie bei den ersten beiden Binomischen Formel. Die beiden mittleren Terme heben sich gegenseitig auf, so dass die beiden quadratischen Terme übrig bleiben.
 ===== Übungsaufgaben Binomische Formeln =====  ===== Übungsaufgaben Binomische Formeln ===== 
  
 Vereinfachen Sie die Ausdrücke, indem Sie die binomischen Formeln anwenden: Vereinfachen Sie die Ausdrücke, indem Sie die binomischen Formeln anwenden:
 ^ **Aufgabe** ^ **Ergebnis** ^ ^ **Aufgabe** ^ **Ergebnis** ^
-| **Aufgabe ​11** ||+| **Aufgabe ​1** ||
 | a) <m> a^2 -25 =  </m>| | | a) <m> a^2 -25 =  </m>| |
 | b) <m> m^2 -1 =  </m>| | | b) <m> m^2 -1 =  </m>| |
 | c) <m> 1 - p^2 =  </m>| | | c) <m> 1 - p^2 =  </m>| |
-| **Aufgabe ​12** ||+| **Aufgabe ​2** ||
 | a) <m> 9a^2 -4b^2 =  </m>| | | a) <m> 9a^2 -4b^2 =  </m>| |
 | b) <m> 49p^2-64q^2 =  </m>| | | b) <m> 49p^2-64q^2 =  </m>| |
 | c) <m> u^2v^2 - 1 =  </m>| | | c) <m> u^2v^2 - 1 =  </m>| |
-| **Aufgabe ​13** ||+| **Aufgabe ​3** ||
 | a) <m> a^2 -a^4 =  </m>| | | a) <m> a^2 -a^4 =  </m>| |
 | b) <m> -9b^4 + 4a^2 =  </m>| | | b) <m> -9b^4 + 4a^2 =  </m>| |
 | c) <m> x^4 y^4 - z^4 =  </m>| | | c) <m> x^4 y^4 - z^4 =  </m>| |
-| **Aufgabe ​14** ||+| **Aufgabe ​4** ||
 | a) <m> a^2 + 10 a + 25 =  </m>| | | a) <m> a^2 + 10 a + 25 =  </m>| |
 | b) <m> y^2- 2 y + 1 =  </m>| | | b) <m> y^2- 2 y + 1 =  </m>| |
-| **Aufgabe ​15** ||+| **Aufgabe ​5** ||
 | a) <m> 9 - 24 b + 16 b^2 =  </m>| | | a) <m> 9 - 24 b + 16 b^2 =  </m>| |
 | b) <m> x^2 + 10 x + 16 =  </m>| | | b) <m> x^2 + 10 x + 16 =  </m>| |
-| **Aufgabe ​16** ||+| **Aufgabe ​6** ||
 | a) <m> 4a^2 - 10 a x + 9 x^2 =  </m>| | | a) <m> 4a^2 - 10 a x + 9 x^2 =  </m>| |
 | b) <m> 120a^2b + 144 a^2 + 25a^2 b^2 =  </m>| | | b) <m> 120a^2b + 144 a^2 + 25a^2 b^2 =  </m>| |
-| **Aufgabe ​17** ||+| **Aufgabe ​7** ||
 | a) <m> 9a^4 - 12 a^2 + 4 =  </m>| | | a) <m> 9a^4 - 12 a^2 + 4 =  </m>| |
 | b) <m> 3x^2 + 52 x + 147 =  </m>| | | b) <m> 3x^2 + 52 x + 147 =  </m>| |
-| **Aufgabe ​18** ||+| **Aufgabe ​8** ||
 | a) <m> a^2 + 8a + 15 =  </m>| | | a) <m> a^2 + 8a + 15 =  </m>| |
 | b) <m> b^2 -7 b + 10 =  </m>| | | b) <m> b^2 -7 b + 10 =  </m>| |
-| **Aufgabe ​19** ||+| **Aufgabe ​9** ||
 | a) <m> q^2 - 8q -9 =  </m>| | | a) <m> q^2 - 8q -9 =  </m>| |
 | b) <m> m^2 + 5 mn - 24 n^2 =  </m>| | | b) <m> m^2 + 5 mn - 24 n^2 =  </m>| |
-| **Aufgabe ​20** ||+| **Aufgabe ​10** ||
 | a) <m> 14 m^2 - 9mn + n^2 =  </m>| | | a) <m> 14 m^2 - 9mn + n^2 =  </m>| |
 | b) <m> 2x^2z + 6xyz - 8 y^2 z =  </m>| | | b) <m> 2x^2z + 6xyz - 8 y^2 z =  </m>| |
- 
  
  
  
lager/mathe/start/binom_formel.1377447586.txt.gz · Zuletzt geändert: 05.07.2018 10:04 (Externe Bearbeitung)