lager:mathe:integral:konstante_c
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lager:mathe:integral:konstante_c [03.04.2020 09:40] – richard | lager:mathe:integral:konstante_c [03.04.2020 09:55] – richard | ||
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Wie kann man nun eine bestimmte Stammfunktion ermitteln? | Wie kann man nun eine bestimmte Stammfunktion ermitteln? | ||
+ | ===== Lösungsansatz ===== | ||
Betrachtet man eine beliebige integrierbare Funktion f(x), dann kann man die dazugehörende Stammfunktionen F(x) durch das unbestimmte Integral bestimmen. | Betrachtet man eine beliebige integrierbare Funktion f(x), dann kann man die dazugehörende Stammfunktionen F(x) durch das unbestimmte Integral bestimmen. | ||
{{: | {{: | ||
- | (grüne | + | (grüne Kurve: $f(x)=0, |
Zur besseren Verdeutlichung wurde ein Integral von a=0 bis b=2,5 (rosa hinterlegt) eingezeichnet. Die entsprechenden Flächen sind oberhalb abzulesen (Für das Intervall [0;2,5] → 6,283) | Zur besseren Verdeutlichung wurde ein Integral von a=0 bis b=2,5 (rosa hinterlegt) eingezeichnet. Die entsprechenden Flächen sind oberhalb abzulesen (Für das Intervall [0;2,5] → 6,283) | ||
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===== Aufgabenstellung ===== | ===== Aufgabenstellung ===== | ||
- | Gegeben ist ein Punkt, durch den die Stammfunktion laufen soll. Gesucht ist nun die Integrationskonstante C, die dies ermöglicht. | + | Gegeben ist ein Punkt $ P(x_P, y_P)$, durch den die Stammfunktion laufen soll. Gesucht ist nun die Integrationskonstante C, die dies ermöglicht. |
Durch folgenden Ansatz kann C ermittelt werden. | Durch folgenden Ansatz kann C ermittelt werden. | ||
- | Ansatz: | + | |
+ | Ansatz:\\ | ||
+ | $F(x_P) +C = y_P$\\ | ||
(Einsetzen des Punktes P in die Stammfunktion) | (Einsetzen des Punktes P in die Stammfunktion) | ||
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==== Beispiel: | ==== Beispiel: | ||
- | Gegeben: | + | Gegeben: |
Gesucht: Berechnen Sie die Integrationskonstante C der Stammfunktion F(x), damit F(x) durch den Punkt P(1|4) verläuft. | Gesucht: Berechnen Sie die Integrationskonstante C der Stammfunktion F(x), damit F(x) durch den Punkt P(1|4) verläuft. | ||
- | Ansatz: | ||
- | 1. Zunächst wird die Stammfunktion F(x) nach den bekannten Integrationsregeln bestimmt: | ||
- | $F(x)= - x^3+2x^2+5x+C$ | ||
- | 2. Koordinaten von P in F(x) einsetzen, dann nach C auflösen: | + | Ansatz:\\ |
+ | 1. Zunächst wird die Stammfunktion | ||
+ | $F(x)= - x^3+2x^2+5x+C$ | ||
+ | 2. Koordinaten von P in F(x) einsetzen, dann nach C auflösen: | ||
$F(1)+C = 4$\\ | $F(1)+C = 4$\\ | ||
$\Leftrightarrow F(1) = - (1)^3 + 2 \cdot (1)^2 + 5 \cdot (1)+C = 4$ | $\Leftrightarrow F(1) = - (1)^3 + 2 \cdot (1)^2 + 5 \cdot (1)+C = 4$ | ||
$\Leftrightarrow C = 4 + 1 - 2 -5 = -2$ | $\Leftrightarrow C = 4 + 1 - 2 -5 = -2$ | ||
+ | |||
+ | 3. Ergebnis:\\ | ||
+ | $F(x)= - x^3+2x^2+5x \boldsymbol{-2}$ | ||
lager/mathe/integral/konstante_c.txt · Zuletzt geändert: 03.04.2020 09:57 von richard