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Inhaltsverzeichnis
Funktionssynthese
Übungsaufgaben Funktionssynthese
1. Ermitteln Sie die Funktionsgleichung der ganzrationalen Funktion 3. Grades, die eine Nullstelle bei $ x_1 = 2 $, eine Wendestelle bei $x_2 = \frac{4}{3}$, die y-Achse bei 4 in einem Maximum schneidet.
Begriffserklärung zum Mathematikbuch Pfeffer Auflage 7:
| Begriff aus Buch | Unsere Bedeutung |
|---|---|
| Flachpunkt | Sattelpunkt |
| Abszisse | x-Achse |
| Wendetangente | Tangente im Wendepunkt |
Hinweise, welche Gleichungen aus den Eigenschaften erstellt werden können:
(nur zum Üben NICHT für die Formelsammlung):
| Eigenschaft | mathematische Bedingung |
|---|---|
| Extremum1) in xE | f´(xE) = 0 |
| Wendepunkt in W(xW , yW ) | f´´ (xW) = 0 und f(xW) = yW |
| Nullstelle bei xN | f(xN) = 0 |
| Punkt P(xP, yP ) auf f(x) | f(xP) = yP |
| Tangente t(x) = mt x + b bei xt | f´(xt) = mt und f(xt) =t(xt) |
| Tangente t(x) im Punkt P(xP, yP ) ist parallel zur Geraden g(x) = mg x + b | f´(xP) = mg und f(xP) = yP |
| f(x) schneidet die Gerade g(x) = mg x + b auf der y-Achse | f(0) = b |
| Wendetangente t(x) = mt x + b bei xW | f´´ (xW) = 0 und f´(xW) = mt |
Hinweis: t(xt) ist ein eigens zu berechnender Wert!
Cornelsen S. 184 Aufgabe 2 Lösungsansätze für die Eigenschaften in der Reihenfolge des Aufgabentextes.
| Aufgabe | Ansatz |
|---|---|
| a | 3. Grades |
| <m>a_2 = a_0 = 0</m> | |
| f(-1)=0 | |
| f´(2) = 1 | |
| b | 3. Grades |
| <m>a_2 = a_0 = 0</m> | |
| f(2)=-4 | |
| f´(2) = 0 | |
| c | 3. Grades |
| <m>a_0 = 0</m> | |
| f´(2) = 0 | |
| f´´(4) = 0 | |
| f´(4) = -4 | |
| d | 3. Grades |
| f(0)= 7,2 | |
| f´(0) = 0 | |
| f(-2)=0 | |
| f(3)=0 | |
| e | 4. Grades |
| <m>a_3 = a_1 = 0</m> | |
| f(2)=0 | |
| f´(2) = 2 | |
| f´´(-1) = 0 | |
| f | 5. Grades |
| <m>a_4 = a_2 = a_0 = 0</m> | |
| f(-1)=-2 | |
| f´(-1) = 0 | |
| f(2)=-13,25 | |
| Lösung Geogebra | |
| g | 3. Grades |
| <m>a_0 = 0</m> | |
| f(1)=2 | |
| f´(1) = 0 | |
| f´´(1) = 0 | |
| h | 3. Grades |
| <m>a_2 = a_0 = 0</m> | |
| f(6)=0 | |
| f´(0) = 2 | |
| f´´(0) = 0 | |
| i | 4. Grades |
| <m>a_0 = 0</m> | |
| f´(0) = 0 | |
| f(4)=0 | |
| f´(4) = 0 | |
| f´(1) = 12 | |
| j | 4. Grades |
| <m>a_3 = a_1 = 0</m> | |
| f(-2)=0 | |
| f(1)=-3 | |
| f´(1) = -1 | |
| k | 3. Grades |
| f(0)=0 | |
| f(-3)=0 | |
| f´(3) = 0 | |
| f(3) = 6 | |
| l | 3. Grades |
| f(4)=0 | |
| f´(4)=0 | |
| f´´(8/3) = 0 | |
| f´(8/3) = -4/3 | |
| m | 4. Grades |
| f(-1)=0 | |
| f´(-1)=0 | |
| f´(2) = 0 | |
| f´´(2) = 0 | |
| f´(2) = 6,75 |
1)
Extremum: Hochpunkt oder Tiefpunkt
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