Warning: "continue" targeting switch is equivalent to "break". Did you mean to use "continue 2"? in /home/WH49045962/wwwroot/inc/parser/handler.php on line 1552 lager:mathe:arithmetik:einfuehr_wurzeln [Kopfload.de - Lad Dein Hirn auf!]

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Vorgehensweise: Wurzelgleichungen lösen

Zunächst muss bei einer quadratischen Gleichung $x$ von der Wurzel befreit werden. Dies geschieht mittels der Quadratur der Gleichung. Dabei erhält man aber unter Umständen eine weitere Lösung, die die ursprüngliche Gleichung eventuell nicht löst. Die Quadratur ist demnach keine äquivalente Termumformung, bei der die Definitions- und Lösungsmenge immer konstant bleibt. Trotzdem hilft sie bei der Lösungsfindung. Man muss lediglich beachten, die gefundenen Lösungen durch eine Probe zu überprüfen.

Beispiel:

\begin{equation} \begin{aligned} \sqrt{2x+1} &= x-17 & &|~ \text{quadrieren} \\ 2x+1 &= (x-17)^2 & &|~ \text{Binom auflösen} \\ 2x+1 &= x^2 - 34 x + 289 & &|~ -2x -1 \\ 0 &= x^2 - 36 x + 288 & &|~ \text{pq-Formel} \\ x_{1,2} &= - \frac{-36}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{-36}{2} \right)^2 - 288 } \\ &=18 \pm \sqrt{324 – 288} \\ &=18 \pm 6 ~~ \implies x_1 = 12 \text{ und } x_2 = 24 \\ \end{aligned} \end{equation}

\begin{equation} \begin{aligned} \text{Probe: } x_1 &=12 \\ \sqrt{2 \cdot 12 +1 } &= 12 -17 \\ \sqrt{25} &= -5 \\ 5 &= -5 ~~ \implies \text{falsch}~~ \implies x_1=12 ~~\text{löst die ursprüngliche Gleichung } \textbf{nicht!} \\ \end{aligned} \end{equation}

\begin{equation} \begin{aligned} \text{Probe: } x_2 &=24 \\ \sqrt{2 \cdot 24+1 } &= 24 -17 \\ \sqrt{49} &= 7 \\ 7 &= 7 ~~ \implies \text{wahr}~~ \implies x_2=24 ~~\text{löst die ursprüngliche Gleichung!}\\ \end{aligned} \end{equation}

Lösungsmenge $L= \lbrace 24 \rbrace$

Musteraufgabe

\begin{equation} \begin{aligned} \sqrt{x-9} &=1 ~~| \text{quadrieren} \\ x-9 &= 1 ~~| +9 \\ x &= 10 \\ \text{Probe:}\\ \sqrt{10-9}&=1 \\ 1&=1 ~~\implies ~\text{wahr} \end{aligned} \end{equation}

Aufgaben:
a) $2 – \sqrt{x} = 1$ b) $\sqrt{x}-2 = -3$ c) $\sqrt{4-x}= 2$ d) $\sqrt{x}-8= 2$
e) $\sqrt{4x-5}+6 = 0$ f) $5 \cdot \sqrt{4x-5}=20$g) $5 - \sqrt{x-6}=2$h) $\sqrt{4x+6}=5$
i) $\sqrt{2x +1}-1 = -6$ j) $10+\sqrt{2x-3}=5$ k) $7+\sqrt{5x+4}=10$
Lösungen (unsortiert)
L={1} (kommt zweimal vor) L={100} L={15} $L=\{- \frac{5}{4}\}$ L={0} $L=\{\frac{21}{4}\}$
L={ }(leere Menge; Quadratwurzel darf nicht negativ sein) (kommt dreimal vor)

Aufwendigere Aufgaben zu Wurzelgleichungen

Beispiel mit zwei gleichen Wurzeln:

Erst zusammenfassen, dann quadrieren und auflösen.

\begin{equation} \begin{aligned} 5 \cdot \sqrt{x+1} -1 &= 3 \cdot \sqrt{x+1} + 3 &&| ~ - 3 \cdot \sqrt{x+1} &&| ~ + 1 \\ 2 \cdot \sqrt{x+1} &= 4 &&| ~ : 2 &&| ~ \text{quadrieren} ~~| ~- 1\\ x&= 3 \\ \text{Probe:}\\ 5 \cdot \sqrt{3+1} -1 &= 3 \cdot \sqrt{3+1} + 3 \\ 5 \cdot 2 -1 &= 3 \cdot 2 + 3 ~\Leftrightarrow~ 9 &= 9 ~~\text{wahr} ~~L&=\{ 3 \} \end{aligned} \end{equation}

Beispiel mit unterschiedlichen Wurzeln

Erst Wurzel isolieren, dann beidseitig quadrieren und auflösen. \begin{equation} \begin{aligned} 3 \cdot \sqrt{4x+10} – 4 \cdot \sqrt{2x+6} &= 0 &&|~ + 4 \cdot \sqrt{2x+6} &&|~ \text{quadrieren} \\ 9 \cdot (4x+10) &= 16 \cdot (2x+6) &&|~ \text{auflösen} \\ 36 x + 90 &= 32 x +96 &&| ~ -90 &&| ~ -32 x \\ 4x &= 6 ~~\Leftrightarrow ~ x = 1,5 \\ \text{Probe: }\\ 3 \cdot \sqrt{4\cdot 1,5+10} – 4 \cdot \sqrt{2 \cdot 1,5+6} &= 3 \cdot \sqrt{ 16 } - 4 \cdot \sqrt{ 9 } &= 3 \cdot 4 - 4 \cdot 3 &= 0 ~~\text{wahr} ~~L=\{ 1,5 \} \end{aligned} \end{equation}

Beispiel mit unterschiedlichen Wurzeln und absolutem Element

Wurzeln nach einander durch quadrieren auflösen. \begin{equation} \begin{aligned} \sqrt{x-1} + \sqrt{x-4}-3 &= 0 &&|~+3 &&|~ -\sqrt{x-1}\\ \sqrt{x-4} &=3-\sqrt{x-1} &&|~ \text{quadrieren} \\ x-4 &= \left( 3 - \sqrt{x-1} \right )^2 &&|~ \text{2. Binom anwenden mit} a = 3 \text{und} b =-\sqrt{x-1}\\ x-4 &= 9 - 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{x-1} + (x-1) &&|~ + 6 \cdot \sqrt{x-1} &&|~ +4 ~~| ~\text{Rest fällt weg} \\ 6 \cdot \sqrt{x-1} &= 12 &&|~: 6 &&|~ \text{quadrieren} \\ x-1 &= 4 ~~\Leftrightarrow~~ x = 5 \\ \text{Probe: }\\ \sqrt{5-1} + \sqrt{5-4}-3 &= 2 + 1 - 3 = 0~~\text{wahr} ~~L=\{ 5 \} \end{aligned} \end{equation}

Aufgaben mit aufwendigeren Wurzelgleichungen:
a) $7 \cdot \sqrt{3 x} – 1=5 \cdot \sqrt{3 x} +5$ b) $3 \cdot \sqrt{\frac{1}{4} x+1} – 1= 2 \cdot \sqrt{\frac{1}{4} x+1} +1$c) $3 \cdot \sqrt{3x-5} – 2 = 2 \cdot \sqrt{3x-5} +2$
d) $\sqrt{ \frac{1}{3} x +7} – \sqrt{\frac{1}{2} x +6} =0$ e) $\frac{1}{2} \cdot \sqrt{x+9} – \frac{1}{3} \cdot \sqrt{x+14} = 0$ f) $\sqrt{3x-7} – \sqrt{4x-9} = 0$
g) $5 \cdot \sqrt{3 x - 8} – \sqrt{7 x +4 }=0$ h) $7 \cdot \sqrt{15 x + 4} – 3 \cdot \sqrt{50 -3 x } = 0$ i) $\sqrt{x+9}- \sqrt{x} = 1$
j) $\sqrt{4x-3}+ 2 \cdot \sqrt{x}=3$ k) $\sqrt{x+6}+\sqrt{x-3}=9$ l) $\sqrt{2(x+1)}+\sqrt{2x+15} = 13$
Lösungen (unsortiert)
L={3} L={7} L={12} x=2 L={} L={6} L={3} $L=\{\frac{1}{3}\}$ L={-5} L={16} L={1} L={19} L={17}
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