Warning: "continue" targeting switch is equivalent to "break". Did you mean to use "continue 2"? in /home/WH49045962/wwwroot/inc/parser/handler.php on line 1552 lager:mathe:extremw:aufgaben [Kopfload.de - Lad Dein Hirn auf!]

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lager:mathe:extremw:aufgaben

Extremwertaufgaben

Beispiel Rechteckfläche

Es soll ein rechteckiger Sandkasten gebaut werden. Der Sandkasten soll flächenmäßig so groß wie möglich werden. Zur Verfügung stehen zwei 8 m lange Bretter. Wie lang müssen die Kanten gewählt werden, damit die Grundfläche des Sandkastens maximal wird?

1. Skizze erstellen

2. Aufstellen der Hauptbedingung/Zielfunktion

Welche Größe soll hier „optimiert“ werden? Die Fläche! Demnach ergibt sich die Hauptbedingung zu: $A=x \cdot y $

3. Aufstellen der Nebenbedingung/Randbedingung

Welche weiteren Informationen enthält die Aufgabenstellung, um Unbekannte zu eliminieren? Es stehen zwei Bretter je 8 m zur Verfügung. Der Umfang beträgt demnach 16 m!

$\Rightarrow$ Nebenbedingung: $2~x+2~y=16$ $\Rightarrow$ $x+y=8$ $\Rightarrow$ $y=8-x$

4. Hauptfunktion/Zielfunktion mittels Nebenbedingung/Randbedingung vereinfachen

Einsetzen der Nebenbedingung in die Hauptbedingung führt zu:

$A(x)=x \cdot (8-x)=8x-x^2$

5. Extremum (Optimum) ermitteln

Notwendige Bedingung: $A'(x)=0$

$A'(x)=8-2x=0 \Rightarrow x=4$

Hinreichende Bedingung: $A''(x)\neq0$

$A''(4)=-2 <0 \Rightarrow$ Es handelt sich um ein Maximum $\checkmark$

6. Lösung ermitteln

Durch einsetzen von $x$ in die Nebenbedingung kann nun noch $y$ bestimmt werden:

$y=8-x=8-4=4 $

Antwort: Die größte Fläche resultiert wenn als Grundfläche ein Quadrat mit den Kantenlängen $x=y=4$ gewählt wird.

Beispiel Dosenoptimierung

Es soll Suppe mit dem Volumen V = 800 ml in einer Dose verpackt werden. Dabei soll der Blechverbrauch minimal werden. Bestimmen Sie das optimale Verhältnis zwischen Höhe $h$ und Radius $r$ der Dose.

1. Skizze erstellen

2. Aufstellen der Hauptbedingung/Zielfunktion

Welche Größe soll hier „optimiert“ werden? Die Oberfläche! Demnach ergibt sich die Hauptbedingung zu: $A=2 \cdot \pi ~ r^2+2 \pi~r \cdot h$

3. Aufstellen der Nebenbedingung/Randbedingung

Welche weiteren Informationen enthält die Aufgabenstellung, um Unbekannte zu eliminieren? Das Volumen der Dose soll 800 ml betragen!

$\Rightarrow$ Nebenbedingung: $V=0,8~l=0,8~dm^3=\pi~ r^2 \cdot h$

$\Rightarrow$ $h=\frac{0,8~dm^3}{\pi ~r^2}$

4. Hauptfunktion/Zielfunktion mittels Nebenbedingung/Randbedingung vereinfachen

Einsetzen der Nebenbedingung in die Hauptbedingung führt zu:

$A=2 \cdot \pi ~ r^2+2 \pi~r \cdot \frac{0,8~dm^3}{\pi ~r^2} = 2 \cdot \pi ~ r^2+ \frac{1,6~dm^3}{r} = 2 \cdot \pi ~ r^2+ 1,6~dm^3 \cdot r^{-1}$

5. Extremum (Optimum) ermitteln

Notwendige Bedingung: $A'(r)=0$

$A'(r)=4 ~ \pi ~ r-\frac{1,6}{r^2}=0 \Rightarrow 4 ~ \pi \ r = \frac{1,6}{r^2} \Rightarrow r^3=\frac{1,6}{4~\pi} \Rightarrow r=\sqrt[3]{\frac{1,6}{4~ \pi}} \approx 0,5~dm $

Hinreichende Bedingung: $A''(r)\neq0$

$A'(r)=4 ~ \pi ~ r-1,6 \cdot r^{-2} \Rightarrow A''(r)=4 ~ \pi +2 \cdot 1,6 \cdot r^{-3} =4 ~ \pi +2 \frac{1,6}{r^3}$

$\Rightarrow A''(0,5)=4 ~ \pi +2 \frac{1,6}{0,5^3} \approx 38,2 >0 \Rightarrow$ Es handelt sich um ein Minimum $\checkmark$

6. Lösung ermitteln

Durch einsetzen von $r$ in die Nebenbedingung kann nun noch $h$ bestimmt werden:

$h(r)=\frac{0,8}{\pi ~r^2} \Rightarrow h(0,5)=\frac{0,8}{\pi ~0,5^2} \approx 1,02~dm $

Antwort: Bei einem Radius von $r=0,5~dm=5~cm$ und einer Höhe von $h=1,02~dm=10,2~cm$ resultiert für eine Dose mit einem Volumen von 800 ml der minimale Materialverbrauch.

Kostenoptimierung

Die Gewinnes eins Unternehmens sollen optimiert werden. Bei einer entsprechenden Analyse konnten die Kosten K als Funktion

K(x)= 0,04 x^3 - 0,64 x^2 + 3,6 x + 2

Das Unternehmen stellt große Mengen her, daher stellt x die Menge in 10.000 Stück dar und die Kosten K sind in 10.000 € dargestellt.

Der Erlös 1) kann in Abhängigkeit der verkauften Waren x als Erlösfunktion E(x) dargestellt werden:

E(x)= - 0,16 x^2 + 2,76 x

a) Wie viel Stück Ware sollten produziert werden, damit der Gewinn maximal wird?

b) Wie groß ist der Maximalgewinn?

c) Wie groß ist der Erlös pro Stück beim Maximalgewinn?

Lösungsskizze:
a)

  • Gewinn $G(x) = E(x) - K(x)$
    (Gewinn= Erlös - Kosten)
  • $G'(x)$ und $G''(x)$ bestimmen
  • Maximum mittels $G'(x_E)=0$ berechnen
  • Mit $G''(x)$ überprüfen
  • $Menge_{max}=x_E \cdot 10.000 St$
    gemeint ist die Menge (Stück) an Waren

b)

  • $Maximalgewinn= G(x_E) \cdot 10.000 €$
    (10.000€ s. Normierung für K(x)

c)

  • Gesamterlös$ = E(x_E) \cdot 10.000 €$
    für die gesamte Menge in €
  • Stückerlös$ = \frac{Gesamterlös }{x_E \cdot 10.000}$
    Erlös für jedes einzelne Stück

Aufgaben zu Extremwertaufgaben aus dem Buch

Die folgenden Aufgaben sind nach Themen sortiert und können im Buch „Mathematik Technik Fachhochschulreife“ Cornelsen Verlag 1. Auflage, 1. Druck 2014 gefunden werden.

Thema Seite Aufgabe Lösung
Extremwertberechung 186f Erklärung
Extremwertberechung Vorgehensweise 189 Erklärung
Aufgaben 190 A1, A2 siehe S. 423
Aufgabe 192 A1 $a=5~;~b=5~;~d=7,07$
Aufgabe 192 A2 In der Aufgabenstellung muss es gleichschenkliges Dreieck heißen! $g=40~;~a=40~;~h=34,64$
Aufgabe 192 A3 $a=10,95~;~b=10,95$
Aufgabe 192 A4 $r=0,7~;~h=0,7$
Aufgabe 192 A5 $x=4~;~A_{max}=8m^2$ ACHTUNG: Fehler in der Skizze (s.u.)
Aufgabe 192 A6 $x\approx 3,3~;~ k(3,3) \approx 103941,13$
Aufgabe 193 A12 a) $C(4|\frac{8}{3})$; b) $l_1=4~\text{LE}, ~l_2=\frac{8}{3}~\text{LE}$
Aufgabe 193 A13 a) $u=1,5~;~v=2,53125$; b) $A_{max} \approx 3,8~\text{FE} $; …
A13 c) max: $u\approx 1,15~\text{&}~v \approx 2,99$ $;$ min: $u\approx 2,38~\text{&}~v=0$; …
A13 d) $U_{max}=8,29~\text{LE}; U_{min}=4,76~\text{LE}$

Korrektur Skizze: S.192 A5 (Kiosk)

Für „Mathematik Technik Fachhochschulreife“ Cornelsen Verlag 1. Auflage, 2. Druck 2015 gilt:

Thema Seite Aufgabe Lösung
Extremwertberechung 186f Erklärung
Extremwertberechung Vorgehensweise 189 Erklärung
Aufgaben 190 A1, A2 siehe S. 423
Aufgabe 192 A1 $a=5~;~b=5~;~d=7,07$
Aufgabe 192 A2 $g=40~;~a=40~;~h=34,64$
Aufgabe 192 A3 $a=10,95~;~b=10,95$
Aufgabe 192 A4 $r=0,7~;~h=0,7$
Aufgabe 192 A5 $x=4~;~A_{max}=8m^2$
Aufgabe 192 A6 $x\approx 3,3~;~ k(3,3) \approx 103941,13$
Aufgabe 193 A12 a) $C(4|\frac{8}{3})$; b) $l_1=4~\text{LE}, ~l_2=\frac{8}{3}~\text{LE}$
Aufgabe 193 A13 a) $u=1,5~;~v=2,53125$; b) $A_{max} \approx 3,8~\text{FE} $; …
193 A13 c) max: $u\approx 1,15~\text{&}~v \approx 2,99$ $;$ min: $u\approx 2,38~\text{&}~v=0$; …
193 A13 d) $U_{max}=8,29~\text{LE}; U_{min}=4,76~\text{LE}$

Weitere Extremwertaufgaben

Weitere Aufgaben Pfeffer 7. Auflage S. 226!

1)
Umsatz oder auch Einnahmen; NICHT Gewinn
lager/mathe/extremw/aufgaben.txt · Zuletzt geändert: 03.04.2020 09:23 von richard